I Numeri Irrazionali

I Numeri Irrazionali: come riconoscerli

Quando abbiamo a che fare con operazioni fra numeri naturali N non sempre tali operazioni sono interne all’insieme N, ovvero il risultato non fa parte dei numeri naturali. Per esempio nella sottrazione tra due numeri in cui il minuendo (primo termine) è più piccolo del sottraendo, oppure nella divisione di alcuni numeri. Nasce così l’esigenza di introdurre nuovi gruppi numerici; per rendere fattibile la sottrazione si introdussero i numeri relativi Z, per il quoziente si introdussero i numeri razionali Q, ovvero qui numeri esprimibili tramite frazione.

Sembrerebbe tutto a posto, ma non abbiamo tenuto conto dell’estrazione di radice. Che numero è per esempio la radice quadra di due?

√2=1,41421356237309504880168872420969…

È un numero non esprimibile con una frazione, ed è decimale, illimitato e non periodico. Questo è un numero irrazionale. Indicheremo l’insieme dei numeri irrazionali con la I. Possiamo vedere comunque che tale insieme è un sottoinsieme dei numeri reali R, come tutti gli altri insiemi sopra citati.

Da notare ovviamente che non solo l’estrazione di radice quadra non è un operazione interna ai numeri razionali, ma anche altre radici (terza, quarta e così via). Da notare però che non tutte le radici quadre, cubiche ed altre danno luogo a numeri irrazionali. Facciamo qualche esempio:

√81=9    nove è un quadrato perfetto

?8=2

Ci sono poi particolari numeri razionali che meritano una menzione a parte, per il fatto che in matematica e non solo se ne fa grande uso, tra questi troviamo:

Pi Greco:

π=3,141592653589793…

Solitamente approssimato a 3,14.

Numero di Nepero (o numero di Eulero):

e=2,71828 18284 59045…

Approssimato alla seconda cifra decimale, 2,72.

Sezione aurea (rapporto aureo o proporzione divina):

?=1,6180339887…

Indica il rapporto tra due lunghezze diseguali, in cui la maggiore è medio proporzionale tra la minore e la somma delle due. Curiosità: è possibile approssimare sempre meglio tale numero dal rapporto tra due termini successivi della nota successione di Fibonacci.