Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per $1$ e per se stesso

Ad esempio, i numeri $5, 11, 23$ rispettivamente divisibili per $1$ e $5$, per $1$ e $11$ e per $1$ e $23$, sono primi.

Il procedimento per stabilire se un numero è primo è quello di verificare se è divisibile per tutti i numeri che lo precedono. Per velocizzare questa operazione adottiamo un metodo noto con il nome di crivello di Eratostene. Applichiamo tale tecnica alla ricerca dei numeri primi compresi fra $1$ e $60$.

Iniziamo costruendo un elenco (detto setaccio) con i numeri compresi fra i due estremi della ricerca:

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$11$ $12$ $13$ $14$ $15$ $16$ $17$ $18$ $19$ $20$
$21$ $22$ $23$ $24$ $25$ $26$ $27$ $28$ $29$ $30$
$31$ $32$ $33$ $34$ $35$ $36$ $37$ $38$ $39$ $40$
$41$ $42$ $43$ $44$ $45$ $46$ $47$ $48$ $49$ $50$
$51$ $52$ $53$ $54$ $55$ $56$ $57$ $58$ $59$ $60$

Eliminiamo dalla tabella il numero $1$ che per convenzione si è deciso di non inserire fra i numeri primi. Il primo numero primo è il $2$; lo segniamo in rosso ed eliminiamo (setacciamo) tutti i suoi multipli.

  $2$ $3$   $5$   $7$   $9$  
$11$   $13$   $15$   $17$   $19$  
$21$   $23$   $25$   $27$   $29$  
$31$   $33$   $35$   $37$   $39$  
$41$   $43$   $45$   $47$   $49$  
$51$   $53$   $55$   $57$   $59$  

Il secondo numero è il $3$; analogamente al passaggio precedente, segniamolo in rosso ed eliminiamo tutti i suoi multipli. Otteniamo:

  $2$ $3$   $5$   $7$      
$11$   $13$       $17$   $19$  
    $23$   $25$       $29$  
$31$       $35$   $37$      
$41$   $43$       $47$   $49$  
    $53$   $55$       $59$  

Ripetiamo lo stesso procedimento colorando il $5$ ed eliminando i suoi multipli.

  $2$ $3$   $5$   $7$      
$11$   $13$       $17$   $19$  
    $23$           $29$  
$31$           $37$      
$41$   $43$       $47$   $49$  
    $53$           $59$  

Applichiamo nuovamente la procedura con il $7$

  $2$ $3$   $5$   $7$      
$11$   $13$       $17$   $19$  
    $23$           $29$  
$31$           $37$      
$41$   $43$       $47$      
    $53$           $59$  

Ripetendo tale procedimento otteniamo una tabella con molte caselle vuote; i numeri rimasti sono tutti ed i soli numeri primi compresi fra $1$ e $60$.

Scomposizione in fattori primi

Consideriamo dei numeri non primi, ovvero dei numeri che si compongono di più fattori moltiplicati tra loro:

$$14=7cdot 2quadquad 18=9cdot 2quadquad 20=5cdot 4$$

Nei tre casi abbiamo operato una scomposizione del numero in fattori. Spesso è necessario ottenere una scomposizione in cui i fattori siano tutti numeri primi.

Per comprendere il procedimento da utilizzare consideriamo, ad esempio, il numero $108$.

Una sua scomposizione in fattori è data dal prodotto $12cdot 9$.

Ciascuno di tali fattori è a sua volta scomponibile in altri fattori:

  • $12$ può essere scomposto nella forma $4cdot 3$ (che a sua volta si può scrivere nella forma $2^2cdot 3$);
  • $9$ può essere scomposto nella forma $3^2$.

In definitiva possiamo scrivere:

$$108=12cdot 9=(4cdot 3)cdot(3^2)=2^2cdot 3cdot 3^2=2^2cdot 3^3$$

L'operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione.

Un metodo pratico per svolgere la scomposizione in fattori primi di un numero, ad esempio $132$, è il seguente:

  • tracciamo alla destra della destra del numero una linea verticale;
  • applichiamo i criteri di divisibilità e scriviamo a destra del numero il più piccolo divisore del numero (cioe $2$);
  • calcoliamo la divisione fra il numero ed il divisore ($132:2$) e scriviamo il risultato ($66$) immediatamente sotto il numero $132$;
  • scriviamo a destra di $66$ il divisore più piccolo (ancora il numero $2$) e sotto al $66$ il risultato della divisione ($33$);
  • scriviamo a destra di $33$ il divisore più piccolo (il numero $3$) e sotto il $33$ il risultato della divisione ($11$);
  • il numero $11$ è primo quindi lo riscriviamo alla sua destra e, al solito, riportiamo sotto il suo quoziente ($1$).

 

 

Avendo trovato come quoziente il numero $1$, la procedura di scomposizione è terminata e possiamo scrivere:

$$132=2cdot 2cdot 3cdot 11=2^2cdot 3cdot 11$$

Esempio

Scomporre in fattori primi il numero $126$

Esempio

Scomporre in fattori primi i numeri $3780$ e $252$

Scomponi ciascuno dei seguenti numeri in prodotti di fattori primi.

$$38;quadquad 200;quadquad 622;quadquad 1656;quadquad 16016.$$

MCD e mcm

Dati due numeri naturali, ad esempio il $12$ e il $16$, calcoliamo i loro insiemi dei divisori:

$$D_{12}={1, 2, 3, 4, 6, 12}quadquad D_{16}={1, 2, 4, 8, 16}$$

Osserviamo che l'insieme dei divisori comuni ad entrambi i numeri è costituita dai numeri $1, 2$ e $4$ cioè $D_{12, 16}={1, 2, 4}.

Il numero $4$ è il maggiore di tali divisori comuni e per tale ragione viene chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.) dei numeri $12$ e $16$; in simboli:

$$M.C.D.(12, 16)=4$$

Il M.C.D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati.

Inoltre:

Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno $1$ come M.C.D.

Esempio

Calcoliamo il M.C.D. tra i numeri $18, 24, 30$.

Scriviamo tutti i loro divisori:

$$begin{array}{l} D_{18}={1, 2, 3, 6, 9, 18}\ D_{24}={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}\ D_{30}={1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}end{array}$$

I divisori comuni di $18, 24$ e $30$ costituiscono l'insieme $D_{18, 24, 30}={1, 2, 3, 6}$; il maggiore di essi è il numero $6$ e pertanto:

$$M.C.D.(18, 24, 30)=6$$

Calcola il M.C.D. di ciascuno dei seguenti gruppi di numeri mediante la fattorizzazione.

  • 1) $(60, 72)$
  • 2) $(110, 28)$
  • 3) $(900, 810)$
  • 4) $(92, 161, 506)$
  • 5) $(675, 450, 1000)$

Consideriamo adesso due numeri naturali, ad esempio il $2$ e il $3$ ed elenchiamo in ordine crescente alcuni loro multipli (escluso lo zero):

$M_2={2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24,dots}$

$M_3={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33,dots}$

Osserviamo che l'insieme dei multipli a comune tra i due numeri è l'insieme:

$$M_{2, 3}={6, 12, 18, 24,dots}$$

Il numero $6$ è il minore di tanti multipli comuni e per questa ragione viene detto minimo comune multiplo (m.c.m) dei numeri $2$ e $3$; in simboli:

$$m.c.m.(2, 3)=6$$

Il m.c.m. di due numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi.

Esempio

Calcoliamo il m.c.m. dei numeri $3, 4, 6$.

Scriviamo alcuni loro multipli:

$$begin{array}{l} M_{3}={3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27,dots}\ M_{4}={4, 8, 12, 16, 20, 24, 28,dots}\ M_{6}={6, 12, 18, 24, 30, 36,dots}end{array}$$

I multipli comuni di $3, 4$ e $6$ costituiscono l'insieme $M_{3, 4, 6}={12, 24,dots}$; il minore di essi è il numero $12$ e pertanto:

$$m.c.m.(3, 4, 6)=12$$

Calcola il m.c.m. di ciascuno dei seguenti gruppi di numeri mediante la fattorizzazione.

  • 1) $(75, 60)$
  • 2) $(420, 225)$
  • 3) $(900, 810)$
  • 4) $(210, 525, 735)$
  • 5) $(1200, 800, 360)$