Dopo aver visto cosa sono i monomi, possiamo procedere con i polinomi.
Un polinomio è la somma algebrica di più monomi.
$2abc^2+4c^3$, $-frac{3}{2}b^2c-3ab+7$ e $-2x^3y+frac{1}{2}y-z+2$ sono tutti polinomi.
Tipi di polinomio: binomio e trinomio
Un polinomio si dice binomio se è somma algebrica di due monomi (es: $4x-3y$), si dice trinomio se è somma algebrica di tre monomi (es: $5z+2-3x$), ecc…
Tipi di polinomio: in forma normale
Un polinomio si dice ridotto in forma normale} se in esso non compaiono somme fra monomi simili. Ad esempio, il polinomio $2abc^2+4c^3-2b$ è ridotto in forma normale. Invece, il polinomio $2abc^2+4c^3-2b+frac{1}{4}c^3$ non è ridotto in forma normale.
Grado di un polinomio
Si dice grado di un polinomio il massimo grado dei monomi che lo compongono. Il polinomio $2abc^2+4c^3-2b$ ha grado $4$ perchè il massimo grado che compare è quello relativo al monomio $2abc^2$ che, appunto, ha grado $4$.
Vediamo, adesso, come risolvere le espressioni algebriche in cui compaiono le quattro operazioni tra monomi e polinomi
Espressioni algebriche con monomio e polinomio:
Vediamo adesso un po' di esercizi risolti di espressioni algebriche con monomi e polinomi.
- 1) $2(3a^3+5a^2-2a+1)-(3a^3-2a^2+5a-7)$
- 2) $frac{1}{3}x^2left(frac{1}{4}x^2-frac{9}{2}x+6right)$
- $3) (3a-2b)frac{1}{3}a-a^2+frac{2}{3}b(2a-3b)-4(b^2-frac{1}{3}ab)$
Svolgiamo la 1):
$begin{array}{l} 2(3a^3+5a^2-2a+1)-(3a^3-2a^2+5a-7)=\ =6a^3+10a^2-4a+2-3a^3+2a^2-5a+7=\ =3a^3+12a^2-9a+9 end{array}$
Svolgiamo la 2):
$begin{array}{l} frac{1}{3}x^2left(frac{1}{4}x^2-frac{9}{2}x+6right)=\ =-frac{1}{12}x^4+frac{3}{2}x^3-2x^2 end{array}$
Svolgiamo la 3):
$begin{array}{l} (3a-2b)frac{1}{3}a-a^2+frac{2}{3}b(2a-3b)-4(b^2-frac{1}{3}ab)= \ =a^2-frac{2}{3}ab-a^2+frac{4}{3}ab-2b^2-4b^2+frac{4}{3}ab= \ =2ab-6b^2 end{array}$
Esercizi sulle espressioni letterali
- $2(4x^3-5x^2+2)+(-3x^2+2x^2-2)$
- $4a^3left(frac{1}{8}a^2-frac{3}{2}a+2right)$
- $frac{5}{4}aleft(frac{8}{15}x^3-frac{8}{5}x^2yright)+(xa^2-5)x-frac{2}{3}x^2aleft(x-3y+frac{3}{2}aright)$