Dopo aver visto le operazioni aritmetiche tra numeri naturali, occupiamoci delle potenze.
L’operazione di elevamento a potenza (o potenza) di un numero permette di semplificare la scrittura di una moltiplicazione.
Per comprendere cosa si intende con tale operazione, consideriamo il seguente esempio: un negoziante ordina $4$ scatole di detersivi. Ciascuna scatola contiene $4$ pacchi, ognuno dei quali contiene quattro confezioni. Quante confezioni ha ordinato il negoziante?
Se consideriamo il procedimento che ci porta alla soluzione del nostro problema ci accorgiamo che abbiamo moltiplicato il numero $4$ per se stesso $3$ volte. A queste operazione viene dato il nome di elevamento a potenza. Il fattore che si ripete ($3$) viene detto esponente, il risultato dei vari prodotti ($64$) è detto valore della potenza. L’esponente si scrive in piccolo, in alto a destra rispetto alla base.
Quindi, la potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero detto base, quanti ne indica l’esponente.
Proprietà delle potenze
Consideriamo il prodotto $3^2cdot 3^3$. Scriviamo per esteso il calcolo delle potenze ed eseguiamo i prodotti:
$$3^2cdot 3^3=underbrace{3cdot 3}_{mbox{due fattori}}cdot underbrace{3cdot 3cdot 3}_{mbox{tre fattori}}=9cdot 27=243$$
ovvero: $3^2cdot 3^3=underbrace{3cdot 3cdot 3cdot 3cdot 3 }_{mbox{cinque fattori}}=3^5=243$.
Le due scritture sono dunque equivalenti e possiamo scrivere la relazione:
Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.
Consideriamo il quoziente $2^5cdot 2^3$. Anche in questo caso scriviamo per esteso il calcolo delle potenze:
$$2^5cdot 2^3=underbrace{(2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 2)}_{mbox{cinque fattori}}: underbrace{(2cdot 2cdot 2)}_{mbox{tre fattori}}=32:8=4=2^2$$
In forma più sintetica possiamo dire che:
Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.
Consideriamo la potenza $(4^2)^3$. Scriviamo per esteso il calcolo delle potenze ed eseguiamo i prodotti:
$$(4^2)^3=underbrace{4^2cdot 4^2cdot 4^2}_{mbox{tre volte}}= underbrace{4cdot 4 cdot 4cdot 4 cdot 4cdot 4}_{mbox{sei volte}}=4^6=4096$$
Quindi: $=(4^2)^3=4^6$, ovvero:
La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.
Consideriamo il prodotto $2^2cdot 3^2$. In questo caso le basi dei fattori sono diverse; possiamo comunque trasformare le potenze in prodotti:
$$2^2cdot 3^2=2cdot 2cdot 3cdot 3=4cdot 9=36$$
In forma più sintetica possiamo dire che:
Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Consideriamo il quoziente $15^3: 5^3$ e scriviamo per esteso il calcolo delle potenze:
$$15^3:5^3=(15cdot 15cdot 15):(5cdot 5cdot 5)=3375:125=27$$
In sintesi possiamo scrivere:
Il quoziente di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.
Esempi:
- 1) $2^2cdot 2^4=2^{2+4}=2^6$
- 2) $10^5:10^2=10^{5-2}=10^3$
- 3) $(5^2)^4=5^{2cdot 4}=5^8$
- 4) $2^2cdot 3^2cdot 5^2=(2cdot 3cdot 5)^2=30^2$
- 5) $3^5cdot 6^5:9^5=(3cdot 6:9)^5=(18:9)^5=2^5$
Prendiamo in esame alcune potenze particolari in cui la base o l’esponente sono uguali a $0$ oppure a $1$.
Potenze con esponente zero
Consideriamo il seguente quoziente di potenze:
$$2^4:2^4=16:16=1$$
Ripetiamo ora i calcoli applicando le proprietà delle potenze:
$$2^4:2^4=2^{4-4}=2^0$$
Avendo operato con le stesse potenze, i due risultati devono essere uguali, pertanto:
$$2^0=1$$
Più in generale, deduciamo la seguente:
La potenza di un qualsiasi numero diverso da zero, con esponente zero, è sempre uguale a $1$.
Potenze con esponente uno
Eseguiamo il seguente quoziente di potenze:
$$7^3:7^2=343:49=7$$
Ripetiamo nuovamente i calcoli applicando le proprietà delle potenze:
$$7^3:7^2=7^{3-2}=7^1$$
Possiamo quindi concludere che:
$$7^1=7$$
Ne deduciamo la seguente:
Una potenza con esponente $1$ è sempre uguale alla base stessa.
Applichiamo adesso il calcolo delle potenze ai seguenti esempi:
- a. $1^3=1cdot 1cdot 1=1$
- b. $0^5=0cdot 0cdot 0cdot 0cdot 0=0$
Ne deduciamo le seguenti:
- Le potenze del numero $1$ sono sempre uguali a $1$ qualunque sia l’esponente.
- Le potenze del numero $0$, con esponente diverso da zero, sono sempre uguali a $0$; la potenza $0^0$ non ha significato.