Problema di Cauchy - equazione differenziale del primo ordine non lineare

A cura di: Gianni Sammito

Risolvere il seguente problema di Cauchy:

 

${(y' = frac{y}{x} (frac{1}{2log(frac{y}{x})} +1)),(y(1) = e):}$

 

---

Le ipotesi del teorema di esistenza e unicità sono soddisfatte, pertanto la soluzione al problema di Cauchy esiste ed è unica. Ponendo $frac{y}{x} = z$ si ottiene

 

$y = x cdot z$

 

da cui

 

$y' = z + x cdot z'$

 

Sostituendo questi valori nell'equazione differenziale si ottiene

 

$z + x z' = z (frac{1}{2 log(z)} + 1)$

 

$z + x z' = frac{z}{2 log(z)} + z$

 

$x z' = frac{z}{2log(z)}$

 

Si nota che $z = 0$ non è soluzione dell'equazione. Dividendo ambo i mebri per $x$, e moltiplicando per $frac{log(z)}{z}$ si ottiene

 

$frac{2 log(z)}{z} z' = frac{1}{x}$

 

Integrando ambo i mebri

 

$int  frac{2 log(z)}{z} z' dx = int frac{1}{x} dx$

 

 $int  frac{2 log(z)}{z} dz = int frac{1}{x} dx$

 

da cui

 

$log^2(z) = log|x| + c$

 

$log(z) = pm sqrt{log|x| + c}$

 

$z = e^{pm sqrt{log|x| + c}}$

 

Ricordando la sostituzione fatta inizialmente si trova

 

$frac{y}{x} =  e^{pm sqrt{log|x| + c}}$

 

ovvero

 

$y = x cdot e^{pm sqrt{log|x| + c}}$

 

Imponendo la condizione iniziale si trova

 

$e = e^{pm sqrt{c}}$

 

Si nota che la soluzione  $y = x cdot e^{- sqrt{log|x| + c}}$ deve essere scartata, e che il problema di Cauchy è soddisfattoper $c=1$. Pertanto la soluzione del problema di Cauchy è

 

$y = x cdot e^{sqrt{log|x| + 1}}$

 

FINE