A cura di: Gianni Sammito

Fra tutti i rettangoli di perimetro $2p$ ($p > 0$) determinare quello di area massma.

Il semiperimetro del rettangolo vale $p$,  quindi chiamando con $x$ la base ($0 le x le p$) si deduce che l'altezza vale $p – x$. Da notare che se $x = 0 vee x = p$ il rettangolo degenera in un segmento. La funzione che rappresenta l'area al variare di $x$ è
 
$f: [0, p] to mathbb{R}: x mapsto x(p-x)$
 
Per studiare il massimo assoluto di tale funzione si può calcolare la derivata prima.
 
$f'(x) = p – 2x$
 
La derivata prima si azzera in $x = frac{p}{2}$, e dallo studio del segno della derivata prima si nota che in tale punto c'è un massimo.
Dato che $f(0) = f(p) = 0$, e $f(frac{p}{2}) = frac{p^2}{4} > 0$, allora in $x = frac{p}{2}$ la $f$ assume il massimo assoluto.
Quindi il rettangolo di area massima avente perimetro $2p$ è quello che ha base $frac{p}{2}$ e altezza $frac{p}{2}$, ovvero il quadrato di perimetro $2p$.
 
FINE