A cura di: Gianni Sammito

Risolvere

 

$z^2 – i bar{z} = 0$

 

per $z in mathbb{C}$, dove $bar{z}$ indica il compesso coniugato di $z$.

 


Detto $rho$ il modulo di $z$ e $theta$ la sua fase, risulta

 

 

$z = rho e^{i theta}$

 

$z^2 = rho^2 e^{i 2 theta}$

 

$bar{z} = rho e^{-i theta}$

 

pertanto l'equazione diventa

 

$rho^2 e^{i 2theta} = i rho e^{-i theta}$

 

Osservando che $z=0$ è soluzione, dividendo poi per $rho$ e moltiplicando ambo i membri per $e^{i theta}$, si ottiene

 

$rho e^{i 3 theta}= i$

 

Dato che

 

$i = e^{i frac{pi}{2}}$

 

l'equazione diventa

 

 $rho e^{i 3 theta}= e^{i frac{pi}{2}}$

 

da cui

 

$rho = 1$

 

$3 theta = frac{pi}{2} + 2 k pi quad implies quad theta = frac{pi}{6} + frac{2}{3} k pi$, $k = 0, 1, 2$

 

Dunque le soluzioni dell'equazione sono

 

$z = 0$

 

$z =  e^{i (frac{pi}{6} + frac{2}{3} k pi)}$, $k = 0, 1, 2$

 

FINE