A cura di: Francesco Speciale

Risolvere un triangolo rettangolo sapendo che l’ipotenusa è di $12cm$ e l’area di $18sqrt3cm^2$


Svolgimentotrian_rett_trig.png

 

 

 

 

 

 

Dati
$alpha=90^circ$
$a=12cm$
$A=18sqrt3cm^2$

La somma degli angoli interni di un triangolo è di $180^circ$, ovvero
$alpha+beta+gamma=180^circ$
si ha che
$90^circ+beta+gamma=180^circ => beta+gamma=180^circ-90^cir=90^circ$.
In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(beta)$, inoltre l’area di un triangolo è data dal semiprodotto di due lati per il seno dell’angolo compreso:
$A=1/2absin(gamma)=120cm^2$.
Mettiamo a sistema le due equazioni ricavate e riolviamolo per sostituzione
${(1/2absin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2a(asin(beta))sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2a^2sin(beta)sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2a^2sin(beta)sin(gamma)=18sqrt3),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2a^2*1/2[cos(beta+gamma)-cos(beta-gamma)]=18sqrt3),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2(12)^2*1/2[cos(90^circ)-cos(beta-gamma)]=18sqrt3),(b=asin(beta)):}$;
${(1/2*144*(-1/2)cos(beta-gamma)=18sqrt3),(b=asin(beta)):}$;
${(36cos(beta-gamma)=18sqrt3),(b=asin(beta)):}$;
${(cos(beta-gamma)=1/2sqrt3),(b=asin(beta)):}$;

Quindi $cos(beta-gamma)=1/2sqrt3 => beta-gamma=arccos(1/2sqrt3)=30^circ$.
Quindi sappiamo che $beta-gamma=30^circ, beta+gamma=90^circ$
Mettiamo a sistema le due equazioni trovate, e risolviamolo per sostituzione
${((beta+gamma)=90^circ),((beta-gamma)=30^circ):}$;
${(gamma=90^circ-beta),((beta-90^circ+beta)=30^circ):}$;
${(gamma=90^circ-beta),(2(beta)=120^circ):}$;
${(gamma=90^circ-60^circ=30^circ),((beta)=60^circ):}$

In un triangolo rettangolo un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa
per il seno dell’angolo opposto al cateto stesso.
$b=asin(beta)=12cm*sin(60^circ)=12cm*1/2sqrt3=6sqrt3cm$
$c=asin(gamma)=12cm*sin(30^circ)=12cm*1/2=6cm$.