A cura di: Francesco Speciale
Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$.
Svolgimento
Indichiamo i tre punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$ con $A, B, C$
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento
di tre punti di coordinate $(x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)$ è:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Quindi occorrerà verificare che sia
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$, ovvero
$(3-0)/(0-0)!=(0)/(5-0) => -3/0!=0$.
Essendo vera la relazione $-3/0!=1$, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati.
Consideriamo ora l’equazione di una circonferenza generica
$x^2+y^2+alphax+betay+gamma=0$;
se vogliamo che la curva passi per i punti $A,B,C$ dobbiamo imporre che le coordinate di
questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con $delta$ la circonferenza cercata, avremo
$A(0;0) in delta => 0^2+0^2+(alpha)*0+(beta)*0+gamma=0 => gamma=0$.
$B(5;0) in delta => 5^2+0^2+(alpha)*5+(beta)*0+gamma=0 => 5(alpha)+gamma+25=0$.
$C(0;-3) in delta => 0^2+(-3)^2+(alpha)*0+(beta)*(-3)+gamma=0 => -3(beta)+gamma+9=0$.
Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
${(-3(beta)+gamma+9=0),(5(alpha)+gamma+25=0),(gamma=0):}$;
${(-3(beta)=-9),(5(alpha)=-25),(gamma=0):}$;
${((beta)=3),((alpha)=-5),(gamma=0):}$;
Perciò sostituendo i valori trovati nell’aquazione generica si ha:
$x^2+y^2-5x+3y=0$
Quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza passante per i punti $(0;0), (5;0), (0;-3)$.
- Geometria analitica