A cura di: Stefano Sannella
Si risolva la seguente disequazione
$(sec(2x))/ (tg(2x)-tg(x))-1/4(1+cot^2(x))>=0$
Iniziamo a definire il dominio.
Per l’esistenza della secante, tangente e cotangente, avremo rispettavamente
$2x!=pi/2+kpi->x!=pi/4+kpi/2$
$x!=pi/2+kpi$
$x!=kpi$
La prima assicura l’esistenza di $sec2x$ e $tan2x$, la seconda di $tanx$ e la terza di $cot^2x$
Passiamo ora alla disequazione e consideriamo la prima frazione. Vediamo di semplificarla
Abbiamo
$(sec2x)/(tg(2x)-tg(x))=(1/(cos(2x)))/((sin(2x))/(cos(2x))-(sinx)/(cosx))=(1/cos(2x))/((sin2xcosx-sinxcos2x)/(cos2x*cosx)$
Ora possiamo eliminare $cos2x$, portare sopra $cosx$ e apportare altre modifiche.
Abbiamo ottenuto
$(cosx)/(sin2x*cosx-sinx*cos2x)=(cosx)/(2sinxcos^2x-sinx(cos^2x-sin^2x))=(cosx)/(2sinxcos^2x-sinx*cos^2x+sin^3x)$
Abbiamo usato la bisezione e poi abbiamo moltiplicato.
Ora andando avanti
$(cosx)/(sinx*cos^2x+sin^3x)=(cosx)/(sinx(cos^2x+sin^2x))$
Ma ricordando che $sin^2x+cos^x=1$ si ha
$(cosx)/(sinx)=cotgx$
per cui l’equazione originaria diventa
$cotgx-1/4(1+cotg^2x)>=0$
ovvero
$1/4(1+cotg^2x)-cotgx<=0$
$cotg^2x-4cotgx+1<=0$
Il che comporta
$2-sqrt3<=cotgx<=2+sqrt3$ e questa è soddisfatta se $pi/12+kpi<=x<=5/12pi+kpi$
Ma osservando le condizioni dobbiamo escludere $x=pi/4+kpi/2$
FINE
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