Verso la fine del XVII secolo la matematica era già una scienza fatta per specialisti, ed era dunque già a un buon livello di astrazione. Fu infatti in quel periodo che si cominciò a trattare delle cosiddette serie infinite. Per capire di che cosa si tratta dobbiamo prima considerare una normale somma:
a + b + c + d + e + f = g
ovviamente in questa somma compaiono 6 addendi e un risultato, niente di strano; così come abbiamo immaginato quella somma possiamo immaginare quest'altra:
a + b + c + d + e + f + g + h + i + l + m + n + o = p
con 13 addendi e un risultato, in questa maniera possiamo immaginare una somma con un numero qualsiasi di addendi, ma la domanda principale che si posero i matematici e questa: possiamo immaginare una somma con un numero infinito di addendi?
La risposta, anche se non è proprio immediata, è positiva, infatti se pensiamo alla somma:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7…
essa è evidentemente infinita e noi possiamo scrivere tutti gli addendi che vogliamo dato conosciamo la regola con cui essi si susseguono, in questo caso un addendo è uguale al precedente più uno. Questo particolare tipo di somma, con infiniti addendi, prende il nome di serie infinita, o più semplicemente serie, e ogni addendo della serie si chiama termine della serie.
Quando abbiamo a che fare con delle somme normali ci viene naturale chiedere quale sia il risultato della somma, e allora perché non fare lo stesso anche con le serie infinite? Molti penseranno che non ha senso perché non finiremmo mai di calcolare, e questo è chiaramente giusto, ma possiamo trovare degli espedienti che ci permettono di evitare di fare un numero infinito di calcoli. Per esempio torniamo alla serie:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7…
è intuitivo che la somma di questa serie è grande quanto si vuole, basta considerare sempre più addendi, in questo caso si dice che la somma tende a infinito o che la serie diverge, ma questo è un caso molto semplice e il metodo applicato non è certo applicabile ad altre serie, vediamo ora su questa serie un metodo che è applicabile, con qualche variazione a tutte le serie divergenti. Troviamo una formula che ci permetta di calcolare la serie fino all'ennesimo termine, in questo caso sappiamo che la somma dei primi n numeri interi è uguale a (n*(n + 1))/2 (vedi induzione), in questa formula calcoliamo il limite per n che tende a infinito, e possiamo vedere come la somma tenda a infinito, sia quindi divergente. Questo metodo è applicabile a tutte le serie infinite, anche a quelle non divergenti, ma spesso è molti difficile, se non praticamente impossibile, trovare la formula che ci consenta di calcolare la somma dopo n addendi, in questi casi si procede per altri metodi, che qui non vedremo in dettaglio.
Ho detto serie anche non divergenti, cioè la cui somma non è un numero arbitrariamente grande, sicuramente molti diranno che ciò non ha gran senso, dato che la somma è composta da infiniti addendi allora il risultato sarà certamente infinitamente grande, alcuni potranno dire che questo si verifica perché i numeri sono infiniti, quindi il risultato continuerà ad aumentare, senza fine, vediamo con un semplice esempio di confutare questa ipotesi. Provate a pensare a questa somma:
1 + 0.1 + 0.01 + 0.001 + 0.001 + 0.0001…
il risultato della somma è evidentemente uguale a 1.111111111… numero che non per nulla infinitamente grande, uguale infatti a 10/9, nonostante la somma sia infinita, inoltre l'ennesimo termine è uguale a 1/(10^(n-1)).
Dunque questa somma converge, non ha cioè come somma l'infinto, ma osserviamo che questa ha una proprietà che la precedente non aveva: i termini diventano sempre più piccoli, e sopratutto tendono a 0, si avvicinano cioè sempre di più allo 0, senza tuttavia mai raggiungerlo. Questa è evidentemente una condizione necessaria affinché una serie converga, ma in generale non è sufficiente, vediamolo con qualche esempio di serie.
1 + 1/2 + 1/3 + … … + 1/n = infinito. Notiamo che nonostante i termini della somma diventino sempre più piccoli la serie diverge ugualmente. La serie viene chiamate serie armonica.
1+ 1/4 + 1/9 + 1/25 + … … + 1/n^2= (p^2)/6 ecco un risultato davvero sorprendente, che cosa c'entra p in questa serie? Tralascio la dimostrazione, ma il risultato è assolutamente corretto. Notiamo che in questo caso i termini successivi tendono a 0 e la serie converge.
1 + 1/16 + 1/81 + 1/256 + … … + 1/n^4 = (p^4)/90 Anche qui compare p senza che ci sia un motivo evidente.
1 + 1/64 … …+ 1/n^6 = (p^6)/945 Come per la serie precedente.
1 + 1/2^26 … … + 1/n^26 = 131586*p/11094481976030578125 Pura curiosità matematica, come le tre precedenti, è stata scoperta da Eulero, senza l'aiuto di un calcolatore.
1 + 1/3 + 1/6 + 1/10 + … + 1/((1/2)*n(n+1)) = 2 Questa è la somma dei reciproci di particolari numeri, detti triangolari.
A^1 + A^2 + A^3 + … + A^N = A/(1-A) se -1<A<1, altrimenti la serie diverge. Questa particolare serie viene chiamate serie geometrica.
1 + 1/1! + 1/2! + … +1/n! = e (n! significa n*n-1*n-2*…*2*1).
La somma dei reciproci dei numeri pari e dei numeri dispari invece diverge.
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