Sia $f(y)$ la densità di una v.a. $y$ con media $m_y$ e varianza $sigma_y^2$, e $ccN(y)$ la densità.

A cura di: Stefano Sannella

Sia $f(y)$ la densità di una v.a. $y$ con media $m_y$ e varianza $sigma_y^2$, e $ccN(y)$ la densità gaussiana con stessi valor medio e varianza; calcolare
$int_y f(y)*log_a(1/(ccN(y)))dy$

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$int_y f(y)*log_a(1/(ccN(y)))dy=-int_y f(y)*log_a(ccN(y))dy$

$(ccN(y))=1/(sigma_ysqrt(2pi))e^(-1/(2sigma_y^2)(y-m_y)^2)$ per cui

$log_a(ccN(y))=log_a(1/(sigma_ysqrt(2pi)))+(-1/(2sigma_y^2)(y-m_y)^2)log_a(e)$

Quindi

$int_y f(y)*log_a(1/(ccN(y)))dy=-int_y f(y)*log_a(ccN(y))dy=$

$=-log_a(1/(sigma_ysqrt(2pi)))int_y f(y)dy+(log_a(e))/(2sigma_y^2)int_y(y-m_y)^2f_Y(y)dy=$
$=-log_a(1/(sigma_ysqrt(2pi)))+(log_a(e))/(2sigma_y^2)*sigma_y^2=$

$=-log_a(1/(sigma_ysqrt(2pi)))+1/2log_a(e)=log_a(sigma_ysqrt(2pi*e))$

 

FINE