A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie a termini di segno positivo

 

$sum_{n=1}^{+infty} frac{n!}{n^n}$

 


La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta solo se

 

 

$lim_{n to +infty} frac{n!}{n^n} = 0$

 

$lim_{n to +infty} frac{n!}{n^n} = lim_{n to +infty} frac{n^n e^{-n} sqrt{2 pi n}}{n^n} = lim_{n to +infty} frac{sqrt{2 pi n}}{e^n} = 0$

 

In questo limite è stata usata l’approssimazione di Stirling, secondo cui $n! approx n^n e^{-n} sqrt{2 pi n}$. Dato che

 

$lim_{n to +infty} frac{frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}}}{frac{n!}{n^n}} = lim_{n to +infty} frac{(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} frac{n^n}{n!} =$

 

$ = lim_{n to +infty} frac{(n+1)!}{n!} frac{1}{n+1} frac{n^n}{(n+1)^n} = lim_{n to +infty} frac{n+1}{n+1} (frac{n}{n+1})^n =$

 

$ = lim_{n to +infty} (frac{n+1-1}{n+1})^{n+1-1} = lim_{n to +infty} (1 – frac{1}{n+1})^{n+1} cdot (1 – frac{1}{n+1})^{-1} = e^{-1} = frac{1}{e} < 1$

 

Pertanto la serie proposta converge per il criterio del rapporto.

 

FINE