A cura di: Gianni Sammito

Studiare il grafico della seguente funzione reale di variabile reale

 

$f(x) = x e^{-frac{1}{x}}$

 


Il prodotto fra due termini è definito laddove sono definiti i due fattori, allo stesso modo un esponenziale è definito laddove è definito l’esponente, pertanto il dominio massimale di questa funzione è

 

${x in mathbb{R}: x ne 0}$

 

Dato che $f(x) ne f(-x)$ e allo stesso tempo $f(x) ne -f(-x)$ la funzione non è né pari né dispari. Visto che $f$ è data dalla composizione di funzioni continue, allora nel suo dominio è continua.

$f(x) = o quad implies quad x=0$, considerando che tale punto non appartiene al dominio, si deduce che non ci sono intersezioni fra il grafico della funzione e gli assi cartesiani.

 

$e^{-frac{1}{x}} > 0 quad forall x in mathbb{R} setminus {0}$

 

pertanto la funzione è positiva se $x>0$ e negativa se $x < 0$.

 

$lim_{x to 0^{+}}x e^{-frac{1}{x}} = 0 cdot e^{-infty} = 0$

 

$lim_{x to 0^{-}} = x e^{-frac{1}{x}} = lim_{x to 0^{-}} frac{e^{-frac{1}{x}}}{frac{1}{x}}$

 

Sfruttando il teorema di de l’Hopital si ottiene

 

$lim_{x to  0^{-}} frac{e^{-frac{1}{x}}}{frac{1}{x}} = lim_{x to 0^{-}} frac{e^{-frac{1}{x}} frac{1}{x^2}}{frac{1}{x^2}} = lim_{x to 0^{-}} e^{-frac{1}{x}} = -infty$

 

Pertanto il grafico della funzione ammette come asintoto verticale sinistro la retta di equazione $x=0$.

 

$lim_{x to +infty} x e^{-frac{1}{x}} = +infty$

 

$lim_{x to -infty} x e^{-frac{1}{x}} = -infty$

 

quindi non ci sono asintoti orizzontali.

 

$m = lim_{x to pm infty} frac{x e^{-frac{1}{x}}}{x} = 1$

 

 $q = lim_{x to pm infty} x e^{-frac{1}{x}} – x = lim_{x to pm infty} x (e^{-frac{1}{x}} – 1) = lim_{x to pm infty} – frac{e^{-frac{1}{x}} – 1}{-frac{1}{x}} = -1$

 

dove all’ultimo passaggio è stato sfruttato il limite notevole

 

$lim_{t to 0} frac{e^t – 1}{t} = 1$

 

Dai calcoli precedenti si nota che la funzione ammette un asintoto obliquo di equazione $y = x – 1$.

La derivata priam dela funzione vale

 

$f'(x) = e^{-frac{1}{x}}  + x e^{-frac{1}{x}} cdot frac{1}{x^2} = e^{-frac{1}{x}} (1 + frac{1}{x})$

 

La $f$ è data dalla composizione continue e derivabili, pertanto nel suo dominio è continua e derivabile.

 

$f'(x) = o implies 1 + frac{1}{x} = 0 implies x = -1$

 

$f'(x) > 0 implies 1 + frac{1}{x} > 0 implies x < -1$

 

Dato che in $-1$ la funzione passa da essere crescente a decrescente, considerando che $f(-1) = -e$, si deduce che il punto $(-1, -e)$ è un minimo. Visto che $-e < -1 -1$ si nota che il minimo si trova sotto all’asintoto obliquo, ovvero nella parte di piano $y le x – 1$.

La derivata seconda della funzione vale

 

$f”(x) = e^{-frac{1}{x}}  frac{1}{x^2} + (-frac{1}{x^2}) e^{-frac{1}{x}} + frac{1}{x^3} e^{-frac{1}{x}} = frac{1}{x^3} e^{-frac{1}{x}}$

 

La derivata seconda non si annulla mai, pertanto non ci sono punti di flesso a tangente obliqua. Dal segno della derivata seconda si nota che la funzione è concava per $x < 0$ e convessa per $x > 0$. Dai calcoli svolti si può concludere che non ci sono intersezioni fra il grafico della funzione e l’asintoto obliquo.

L’immagine della funzione coincide con l’insieme

 

$(-infty, -e] cup (0, +infty)$

 

Questo è il grafico della funzione

 

Grafico funzione

 

FINE