A cura di: Gianni Sammito

Stabilire se la seguente serie a termini di segno variabile converge assolutamente e/o semplicemente
$sum_{n=1}^{+infty} frac{(-1)^n}{sqrt{n}}$
 


La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, visto che
$lim_{n to +infty} (-1)^n frac{1}{sqrt{n}} = 0$
Per studiare la convergenza assoluta, si deve considerare la serie
$sum_{n=1}^{+infty} |frac{(-1)^n}{sqrt{n}}| = sum_{n=0}^{+infty} frac{|(-1)^n|}{|sqrt{n}|} = sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{sqrt{n}}$
che è una serie armonica con esponente minore di uno, e diverge, pertanto la serie proposta non converge assolutamente. Visto la presenza del termine $(-1)^n$, e considerando che $sqrt{n} > 0$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$, la serie è a termini di segno alterno.
$lim_{n to +infty} frac{1}{sqrt{n}} = 0$ (1)
$frac{1}{sqrt{n}} > frac{1}{sqrt{n + 1}}$ (2)
Da (1) e da (2) si nota che le ipotesi del criterio di Leibniz sono soddisfatte, pertanto la serie iniziale converge semplicemente.
FINE