Premessa sul Teorema di Euclide
Prima di studiare i teoremi di Euclide dobbiamo prima capire cos’è la proiezione dei cateti sull’ipotenusa.
Guardiamo il seguente triangolo rettangolo.
$AH$ è la proiezione del cateto $AC$ sull’ipotenusa, mentre $HB$ è la proiezione del cateto $CB$ sull’ipotenusa.
Primo teorema di Euclide
Il primo teorema di Euclide affema che: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
In formule:
$$AC^2=AHcdot AB$$
Tale teorema, in realtà, ha un’altra formulazione che si scrive sotto forma di proporzione:
$$AH:AC=AC:AB$$
che a parole si traduce così: in un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull’ipotenusa e l’ipotenusa stessa.
Applicazioni sul primo teorema di Euclide
Esempio
Calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo la cui ipotenusa misura $2cm$ e la proiezione del cateto minore sull’ipotenusa misura invece $9.4cm$
Dati del problema:
- – $AH=2cm$
- – $AB=9,4cm$
- – $P=?$
Applichiamo il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo per ricavarci la lunghezza del cateto minore:
$$AH:AC=AC:ABRightarrowquad AC^2=AH*ABRightarrowquad AC=sqrt{AH*AB}=sqrt{2*9,4}=sqrt{18,8}=4,35cm$$
Ricaviamo la proiezione del cateto maggiore sull’ipotenusa:
$$HB=AB-AH=9,4-4,35=5,05cm$$
Applichiamo nuovamente il primo teorema di Euclide per ricavarci il cateto maggiore:
$$HB:CB=CB:ABRightarrowquad CB^2=HB*ABRightarrowquad CB=sqrt{HB*AB}=sqrt{5,05*9,4}=sqrt{47,47}=6,9cm$$
Avendo ricavato tutti i lati, possiamo procedere con il calcolo del perimetro:
$$P=AB+AC+BC=9,4+4,35+6,9=20,65cm$$
Secondo teorema di Euclide
Il secondo teorema di Euclide affema che: in un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull’altezza relativa all’ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
In formule:
$$CH^2=AHcdot HB$$
Tale teorema, in realtà, ha un’altra formulazione che si scrive sotto forma di proporzione:
$$AH:CH=CH:HB$$
che a parole si traduce così: in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è medio proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa.
Applicazioni sul secondo teorema di Euclide
Esempio
Le proiezioni dei cateti AC e CB di un triangolo rettangolo, sono rispettivamente $12cm$ e $23,7cm$. Calcolare l’altezza relativa all’ipotenusa.
Dati del problema:
- – $AH=12cm$
- – $HB=23,7cm$
- – $CH=?$
Applichiamo il secondo teorema di Euclide al triangolo rettangolo per ricavarci direttamente la lunghezza dell’altezza:
$$AH:CH=CH:HBRightarrowquad CH^2=AH*HBRightarrowquad CH=sqrt{AH*HB}=sqrt{12*23,7}=sqrt{284,4}=16,86cm$$
Teorema di Euclide: Problemi da svolgere
Risolvere i seguenti problemi
1) Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa lunga $8cm$ e la proiezione di uno dei cateti pari a $2,5cm$. Trovare i cateti.
2) In un triangolo rettangolo un cateto è lungo $19 cm$ e la sua proiezione sull’ipotenusa è i $frac{3}{4}$ della proiezione dell’altro cateto sull’ipotenusa. Calcola l’area e il perimetro del triangolo rettangolo
3) In un triangolo rettangolo le proiezioni dei cateti sull’ipotenusa misurano rispettivamente $6,5m$ e $12,4m$. Calcolare l’area del triangolo.
4) Un trapezio rettangolo ha La base maggiore lunga $6m$ e la diagonale minore è perpendicolare al lato. Calcolare l’area e il perimetro del trapezio.