La condizione di continuità di una funzione in un punto implica l’esistenza del limite per x che tende a questo punto. Se il limite vale infinito, non esiste, è diverso se calcolato da destra o da sinistra determina la non calcolabilità della derivata in quel punto. Pertanto la condizione di derivabilità è piu’ restrittiva della continuità. È possibile dimostrare che la derivabilità implica la continuità.
Alcuni esempi possono chiarire questo punto.
La funzione f(x)=Ix-3I è continua nel punto 3, ma se calcoliamo la derivata essa vale 1 o -1 a seconda che venga calcolata per x>3 o x<3 e quindi la funzione non risulta derivabile nel punto 3.