${(x^2+y^2=29),(xy=-10):}$

A cura di: Stefano Sannella

Si risolva il seguente sistema

Siamo davanti a un sistema simmetrico: trasformando la x in y, e viceversa, il sistema rimane inalterato.

Procediamo come di norma i questi casi.

Notiamo che vale la preziosa uguaglianza

$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$

che può verificarsi banalmente sviluppando la parentesi al secondo membro.

Il sistema diventa quindi

${((x+y)^2-2xy=29),(xy=-10):}$

Sostituendo il valore noto di $xy$ avremo

${((x+y)^2+20=29),(xy=-10):}$

${((x+y)^2=9),(xy=-10):}$

${(|x+y|=3),(xy=-10):}$

${(x+y=+-3),(xy=-10):}$

A questo punto abbiamo due sistemi risolutivi, il primo nel caso

$x+y>0$

il secondo se

$x+y<0$

Nel primo caso, la somma $s$ delle due radici è pari a 3, e il prodotto $p$ a -10, pertanto vale

$z^2-sz+p=0$

$z^2-3z-10=0$

Equazione che ammette come soluzioni

$z_1=5$ e $z_2=-2$

pertanto le coppie di soluzioni che soddisfano il sistema 1) sono

${(x=5),(y=-2):}$ e ${(x=-2),(y=5):}

Il sistema 2) invece prevede che $s=-3$ pertanto l'equazione da impostare sarà

$z^2+3z-10=0$

che ammette come soluzioni $z_1=-5$ e $z_2=2$

quindi la coppia sarà

${(x=-5),(y=2):}$ e ${(x=2),(y=-5):}$

FINE