A cura di: Stefano Sannella
Si risolva le seguente disequazione
$x(log^2 x +log x)>=0$
Dobbiamo innanzitutto definire il dominio: in questo caso c’è solo da imporre esistenza del logaritmo, che è assicurata se e solo se l’argomento è strettamente positivo
$x>0$
Ora pssiamo alla risoluzione della disequazione
$x(log^2 x +log x)>=0$,
ma dal momento che $x>0$ per l’esistenza del logaritmo, allora dobbiamo risolvere la sola disequazione $(log^2 x +log x)>=0$.
Infatti abbiamo diviso ambo i membri per $x$: malgrado dividere entrambi i membri per un valore variabile (contenente $x$) è pericoloso in una disequazione per via del segno, questa volta possiamo stare tranquilli perchè il dominio che noi stessi abbiamo definito assicura la positività di $x$
Ora ponendo
$logx=t$
la disequazione diventa
$t^2+t>=0$
ovvero
$t(t+1)>=0$
cioè, osservando che le radici dell’equazione associata sono banalmente
$x=0$
$x=-1$
e sapendo che occorre considerare i valori esterni ad essi per garantire la positività, avremo
$t>=0$ U $t<=-1$
Ora per $t>=0$ si avrà
$logx>=0$ $->$ $x>=1$,
mentre per
$t<=-1$ si ha
$logx<=-1$ $->$ $0<x<=1/e$
In conclusione devono essere verificate contemporaneamente le due condizioni
1)$x>0$
2)$x>=1$ U $0<x<=1/e$
che comportano che la disequazione $x(log^2 x +log x)>=0$ è soddisfatta per
$0<x<=1/e$ U $x>=1$.
FINE
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