Matematica

  • Materia: Matematica
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  • Data: 2014-08-28
  • Autore: Samuel Leanza

Cerchio e circonferenza

Spiegazione con esercizi su: area del cerchio, lunghezza della circonferenza, raggio, diametro.

Prima di studiare i solidi è importante conoscere bene cerchio e circonfernza. Iniziamo delle definizioni.

Il cerchio è una figura geometrica del piano di forma circolare. Il punto centrale del cerchio è detto centro, mentre il perimetro è chiamato circonferenza la quale viene indicata con la lettera $C$.

Quindi, cerchio e circonferenza sono due concetti differenti: il cerchio è costituito da tutti i punti del piano racchiusi da una circonferenza (vedi area grigia nella figura soprastante), invece la circonferenza è costituita da tutti i punti che si trovano sul percorso esterno (vedi bordo nero nella figura soprastante).

Ogni segmento che unisce il centro del cerchio con un punto della circonferenza è detto raggio. Esso viene indicato spesso con la lettera $r$.

 

E' importante evidenziare che esistono infiniti raggi in un cerchio, ma sono tutti della stessa lunghezza.
 

Come calcolare la lunghezza della circonferenza

Per calcolare la lunghezza di una circonferenza, basta conoscere la misura di un qualunque raggio, ovvero, di un qualunque segmento che unisce il centro del cerchio con un punto della circonferenza.

La formula $\pi$ per calcolare la lunghezza della circonferenza (o cio che è lo stesso il perimetro del cerchio) è: $$C=2\times\pi\times r$$ Dove $\pi$ (leggi pi-greco) è un numero fisso pari a $3.14$.

Nota la lunghezza della circonferenza C, la formula per calcolare il raggio r è la seguente: $$r=\frac{C}{2\times\pi}$$

Esempio 1:

Un cerchio ha il raggio $r = 5cm$; calcolare la lunghezza della circonferenza.

Ricordando la formula per il calcolo della circonferenza e sostituendo in essa il valore del raggio r, ottengo: $$C=2\times \pi \times r=2\times \pi \times 5=2\times 3.14\times 5=31.4cm$$

Esempio 2:

Un cerchio ha una circonferenza di lunghezza $25cm$; calcolare il raggio.

Ricordando la formula per il calcolo del raggio e sostituendo in essa il valore della circonferenza C, ottengo: $$r=\frac{C}{2\times\pi}=\frac{25}{2\times\pi}=3.98cm$$

 

Area del cerchio

Indichiamo l'area del cerchio (o superficie del cerchio) con la lettera $A$. Per calcolarla si usa la seguente formula: $$A=\pi\times r^2$$

E' importante sottolinerare che l'unità di misura dell'area sarà $cm^2$, $m^2$, ecc\dots perché il raggio r (espresso in $cm$, $m$, ecc) compare al quadrato nella formula.

Viceversa, data l'area del cerchio, il raggio può essere calcolato con la seguente formula: $$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}$$

Esempio su Area del cerchio (1):

Dato un cerchio di raggio $r = 2cm$, trovarne l'area.

Ricordando la formula per il calcolo dell'area e sostituendo in essa il valore del raggio r, ottengo: $$A=\pi\times r^2=3.14\times 2^2=3. 14\times 4= 12.56cm^2$$

Esempio su Area del cerchio (2):

Dato un cerchio di area $A = 6cm^2$, trovarne il raggio.

Ricordando la formula per il calcolo del raggio nota l'area e sostituendo in essa il valore dell'area, ottengo: $$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}=\sqrt{\frac{6}{\pi}}=\sqrt{1.91}=1.38cm$$

 

Altre formule utili per il cerchio e circonferza

Supponiamo di conoscere la circonferenza di un cerchio $C = 3cm$ e di voler calcolarne l'area. Sappiamo che: $$A=\pi\times r^2$$ ma non conosciamo il raggio. Conoscendo la circonferenza potremmo però, ricavarci il raggio utilizzando la seguente formula: $$r=\frac{C}{2\times \pi}=\frac{3}{2\times 3.14}=0.48cm$$ Adesso, possiamo quindi trovarci l'area con la formula precedente: $$A=\pi\times r^2=3.14\times 0.48^2=3.14\times 0.23=0.72cm^2$$

L'ultima formula può essere riscritta nella seguente maniera: $$ A=\pi\times r^2=\pi\times\bigg(\frac{C}{2\times \pi}\bigg)^2=\pi\times\frac{C^2}{4\times \pi^2}=\frac{C^2}{4\times \pi} $$ Quindi, un modo per ricavarsi l'area conoscendo la circonferenza è il seguente: $$A=\frac{C^2}{4\times \pi}$$

Diamo, adesso, un altro esempio:

Supponiamo di avere un cerchio di area $A = 7cm^2$ di cui vogliamo conoscere la circonferenza. Sappiamo che $$C=2\times \pi \times r$$ ma, come prima, non conosciamo il raggio. Sfruttando, però, la misura nota dell'area del cerchio, grazie alla formula per il calcolo del raggio nota l'area, ottengo: $$r=\sqrt{\frac{A}{\pi}}=\sqrt{\frac{7}{3.14}}=\sqrt{2.23}=1.49cm$$ Sostituendo il raggio cosi trovato nella formula iniziale ci ricaviamo la circonferenza: $$C=2\times \pi \times r=2\times 3.14\times 1.49=9.36$$

L'ultima formula può essere riscritta nella seguente maniera: $$C=2\times \pi \times r=2\times\pi\times\sqrt{\frac{A}{\pi}}=2\times\sqrt{\frac{A\times \pi^2}{\pi}}=2\times\sqrt{A\times \pi}$$ In sintesi, nota l'area del cerchio, possiamo calcolare la circonferenza con la seguente formula: $$C=2\times\sqrt{A\times \pi}$$