Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visualizzato: 1352 volte
  • Data: 2014-10-06
  • Autore: Samuel Leanza

Frazioni generatrici

Cosa sono le frazioni generatrici e come si possono calcolare

Sappiamo che le frazioni possono essere trasformate in numeri decimali e viceversa. Adesso vediamo cosa i tipi di numeri generati da una frazione.

Data una frazione ridotta ai minimi termini abbiamo 4 casi diversi.
 

Frazione generatice di un numero intero

Se il denominatore è $1$, allora la frazione è apparente e genera un numero intero.

Esempio:

$\frac{32}{8}$

La frazione ridotta ai minimi termini diviene $\frac{4}{1}$. Siamo quindi nel primo caso, ovvero la frazione genera un numero intero.
 

Frazione generatice di un numero decimale limitato: esempio

Se tra i fattori del denominatore appaiono solo $2$ e $5$ allora la frazione è decimale e genera un numero decimale limitato.

Esempio:

$\frac{4}{50}$

La frazione ridotta ai minimi termini diviene $\frac{2}{25}$. Essendo la scomposizione del denominatore: $$25=5\cdot 5$$ formata solo da $5$, siamo nel secondo caso, ovvero la frazione genera un numero decimale limitato.
 

Frazione generatice di un numero periodico semplice limitato: esempio

Se tra i fattori del denominatore non appaiono né $2$ né $5$ allora la frazione genera un numero periodico semplice.

Esempio:

$\frac{5}{15}$

La frazione ridotta ai minimi termini diviene $\frac{1}{3}$. Visto che nella scomposizione del denominatore non compaiono né $2$ né $5$, siamo nel terzo caso, ovvero la frazione genera un numero periodico semplice.
 

Frazione generatice di un numero periodico misto: esempio

 

Se tra i fattori del denominatore appaiono altri numeri primi oltre al $2$ o al $5$ allora la frazione genera un numero periodico misto.

Esempio:

$\frac{2}{12}$

La frazione ridotta ai minimi termini diviene $\frac{1}{6}$. Visto che nella scomposizione del denominatore ($6=2\cdot 3$) compare oltre al $2$ anche il numero primo $3$, siamo nel quarto caso, ovvero la frazione genera un numero periodico misto.

 

Dalla frazione al numero decimale

Per passare da una frazione ad un numero decimale basta svolgere la divisione tra numeratore e denominatore, ottenendo l'approssimazione voluta come mostrato nel paragrafo precedente. Però, nel caso in cui la frazione è decimale (ovvero al denominatore compaiono 10, 100, 1000, ecc.), si può ricavare facilmente il numero decimale: bisogna scrivere il numeratore e spostare la virgola da destra verso sinistra di un numero di posti uguale al numero di 0 presenti al numeratore


Esempio

$\frac{215}{10}$

Poichè abbiamo uno zero al denominatore, sposteremo la virgola di un solo posto:

$$\frac{215}{10}=21,5$$


Esempio

$\frac{21}{100}$

Poichè abbiamo due zeri al denominatore, sposteremo la virgola di due posti:

$$\frac{21}{100}=0,21$$

Calcolare il numero decimale generato dalle seguenti frazioni scrivendo di che tipo di numero si tratta:

  • 1) $\frac{35}{7}$
  • 2) $\frac{49}{98}$
  • 3) $\frac{24}{22}$
  • 4) $\frac{13}{52}$
  • 5) $\frac{9843}{100}$
  • 6) $\frac{765}{10}$


Dal numero decimale alla frazione

Vediamo come determinare le seguenti frazioni generatrici con gli esempi seguenti.


Numero decimale limitato: esempio 

Determiniamo le frazioni generatrici dei numeri $2,124$, $0,23$ e $1,9$.

Scriviamo il numero senza virgola al numeratore e al denominatore scriviamo un $1$ e tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero considerato$

$$2,124=\frac{2124}{1000}\quad 0,23=\frac{23}{100}\quad 1,9=\frac{19}{10}$$


Numero periodico semplice: esempio

Determiniamo le frazioni generatrici dei numeri $11,\overline{3}$, $0,\overline{19}$ e $1,\overline{512}$

Scriviamo al numeratore la differenza tra l'intero numero dato senza virgola e tutto ciò che non fa parte del periodo; mentre al denominatore scriviamo tanti $9$ quante sono le cifre che compongono il periodo$

$$11,\overline{3}=\frac{113-11}{9}=\frac{34}{3}$$ $$0,\overline{19}=\frac{19}{99}$$ $$1,\overline{512}=\frac{1512-1}{999}=\frac{1511}{999}$$


Numero periodico misto: esempio

Determiniamo le frazioni generatrici dei numeri $11,\overline{3}$, $0,2\overline{9}$ e $1,\overline{512}$.

Scriviamo al numeratore la differenza tra l'intero numero dato senza virgola e tutto ciò che non fa parte del periodo; mentre al denominatore scriviamo tanti $9$ quante sono le cifre che compongono il periodo e tanti $0$ quante sono le cifre che compongono l'antiperiodo$

$$11,2\overline{3}=\frac{1123-112}{90}=\frac{337}{30}$$ $$0,2\overline{5}=\frac{25-2}{90}=\frac{23}{90}$$ $$1,51\overline{2}=\frac{1512-151}{900}=\frac{1361}{900}$$

 

Scrivere le frazioni generatrici dei seguenti numeri

  • 1) $2,76$
  • 2) $1,\overline{4}$
  • 3) $34,\overline{32}$
  • 4) $62,4\overline{2}$
  • 5) $923,3\overline{54}$
  • 6) $0,23\overline{47}$


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