Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visualizzato: 1095 volte
  • Data: 2014-11-14
  • Autore: Samuel Leanza

Frazioni

Spiegazione su cosa sono le frazioni con problemi ed esempi svolti.

Se eseguiamo una divisione tra due numeri naturali sappiamo che non sempre otteniamo come risultato un numero naturale. Ad esempio, i risultati delle seguenti divisioni:

$$4:5\quad\quad 5:4\quad\quad 9:8$$

non sono dei numeri naturali bensì numeri decimali, infatti:

$$4:5=0,8\quad\quad 5:4=1,25\quad\quad 9:8=1,125$$

Consideriamo il seguente quesito: come dividere $4$ pani uguali tra $5$ persone? Ogni pane viene diviso in $5$ parti uguali in modo che ogni persona possa prenderne una fetta; così, la prima persona prende una fetta del primo pane, una del secondo, una del terzo e una del quarto.

Ognuna delle $5$ parti uguali in cui è stato diviso un pane si dice "un quinto" e si indica con il simbolo $\frac{1}{5}$.

L'unità frazionaria $\frac{1}{n}$ (con $n\neq 0$) rappresenta una sola delle $n$ parti uguali in cui è stato diviso l'intero.

Ad esempio $\frac{1}{2},\ \frac{1}{4},\ \frac{1}{8},\dots$ sono unità frazionarie. Ognuna di esse indica che l'intero è stato diviso rispettivamente in $2,\ 4,\ 8$ parti e ne è stata considerata una. 


Esempio Frazione 1

Se vogliamo tappezzare i $\frac{2}{5}$ di una parete rettangolare, possiamo prima dividere la parete in $5$ parti uguali, ognuna delle quali vale $\frac{1}{5}$ (unità frazionaria), e poi tappezzare due di queste parti

Esempio Frazione 2

Se vogliamo calcolare i $\frac{3}{4}$ di $28$ alunni, possiamo prima calcolare quanti alunni corrispondono all'unità frazionaria $\frac{1}{4}$, dividendo il numero degli alunni per $4$, e poi moltiplicare quest'ultimo valore per il numero $3$.

$$28\ \mbox{alunni}:4=7\ \mbox{alunni}\quad\quad 7\ \mbox{alunni}\cdot 3=21\ \mbox{alunni}$$

Possiamo quindi concludere che i $\frac{3}{4}$ di $28$ alunni corrispondono a $21$ alunni

In una frazione, come ad esempio $\frac{2}{5}$, il $2$ è detto numeratore, il $5$ denominatore e la lineetta posta tra i due numeri di dice linea di frazione.

La frazione è un'operatore che divide l'intero in tante parti uguali, quante ne indica il denominatore, e ne prende in considerazione tante quante ne indica il numeratore


I problemi con le frazioni

Con gli strumenti a nostra disposizione siamo ora in grado di comprendere come una frazione operi su una grandezza.

Esempio

Spendiamo i $\frac{2}{7}$ dei nostri risparmi, che ammontano a € $210$, per acquistare un lettore CD. Quanto abbiamo speso?

I dati del problema:

  • $210=$ valore in Euro del totale dei risparmi; corrisponde all'intero
  • Incognita: costo del lettore CD che corrisponde ai $\frac{2}{7}$ dell'intero

Per la soluzione del problema rappresentiamo graficamente i dati: 

In questo caso il dato numerico ($210$) corrisponde all'intero. In base alla frazione unitaria che dobbiamo considerare$\left(\frac{1}{7}\right)$ possiamo dire che $210$ corrisponde a $\frac{7}{7}$. Per il calcolo dell'unità frazionaria basta allora svolgere la divisione:

$$210:7=30\quad \mbox{(valore in Euro della frazione unitaria $\frac{1}{7}$ dell'intero)}$$

Per stabilire il prezzo del lettore CD basta osservare che tale quantità (in rosso) corrisponde a $2$ volte l'unità frazionaria cioè:

$$30\cdot 2=60\quad \mbox{(valore in Euro del lettore CD cioè $\frac{2}{7}$ dell'intero)}$$

Risposta: per l'aquisto del lettore CD abbiamo speso € $60$.

Esempio

Un ciclista percorre un tragitto lungo $675$ km in tre tappe. Il primo giorno percorre $\frac{1}{3}$ dell'intero percorso; il secondo giorno i $\frac{2}{5}$ dell'intero percorso. Calcoliamo quanti km ha percorso dopo il secondo giorno e quanti deve percorrerne nella terza tappa.

I dati del problema:

  • $675=$ numero complessivo km del percorso
  • $\frac{1}{3}\ \mbox{dell'intero}\ =$ prima tappa
  • $\frac{2}{5}\ \mbox{dell'intero}\ =$ seconda tappa
  • Incognite: numero km percorsi dopo il secondo giorno
    numero km da percorrere nella terza tappa

In questo problema abbiamo due frazioni che si riferiscono allo stesso intero che è noto; la rappresentazione grafica dei dati del problema è la seguente:

Per il calcolo della prima tappa dobbiamo svolgere l'operazione:

$$675:3=225\quad\mbox{(unità frazionaria della prima tappa in km $=\frac{1}{3}$ dell'intero)}$$

Per il calcolo della seconda tappa dobbiamo osservare che l'unità frazionaria di riferimento cambia da $\frac{1}{3}$ in $\frac{1}{5}$, pertanto dobbiamo svolgere le seguenti operazioni:

$$675:5=135\quad\mbox{(unità frazionaria della seconda tappa in km $=\frac{1}{5}$ dell'intero)}$$ $$135\cdot 2= 270\quad\mbox{(seconda tappa in km $=\frac{2}{5}$ dell'intero)}$$

Possiamo ora determinare le incognite del problema:

$$225+270=495\quad\mbox{(somma in km delle prime due tappe)}$$ $$675-495=180\quad\mbox{(terza tappa in km).}$$

Risolvi i seguenti problemi

  • 1) Calcola i $\frac{3}{5}$ di un segmento lungo $735$ cm.
  • 2) In una scuola vi sono $300$ alunni. A quanti alunni corrispondono rispettivamente i $\frac{3}{100}$, i $\frac{3}{50}$ e i $\frac{7}{60}$ dell'intera scuola?
  • 3) Dopo aver letto i $\frac{4}{9}$ delle pagine di un romanzo di avventura mi restano ancora da leggere $125$ pagine. Da quante pagine è costituito l'intero romanzo?


Classificazione delle frazioni

Le frazioni si classificano in:

  • frazioni proprie
  • frazioni improprie
  • frazioni apparenti

Le frazioni proprie sono frazioni che hanno il numeratore minore del denominatore(ad esempio $\frac{2}{3}$ e $\frac{5}{6}$).

Le frazioni improprie sono frazioni che hanno il numeratore maggiore del denominatore(ad esempio $\frac{8}{5}$ e $\frac{6}{5}$).

Le frazioni apparenti sono frazioni che hanno il numeratore uguale o multiplo del denominatore(ad esempio $\frac{3}{3}$ e $\frac{8}{4}$).

Infine, due o più frazioni si dicono equivalenti se, operando sulla stessa grandezza, ne rappresentano una parte uguale.

Osserviamo, ad esempio, che le frazioni $\frac{4}{6}$ e $\frac{6}{9}$ si originano dalla frazione $\frac{2}{3}$ moltiplicando contemporaneamente il numeratore e il denominatore di quest'ultima per una stessa quantità (rispettivamente per $2$ e per $3$):

$$\frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2}{3\cdot 2}=\frac{4}{6};\quad\quad \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 3}{3\cdot 3}=\frac{6}{9}.$$