Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visualizzato: 17685 volte
  • Data: 2014-10-15
  • Autore: Samuel Leanza

Grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Cosa sono le grandezze direttamente e inversamente proporzionali

Grandezze direttamente proporzionali

Due grandezze $A$ e $B$ sono tra di loro direttamente proporzionali se il loro rapporto è una costate; in formule:

$$\frac{A}{B}=k$$

$k$ è detta costante di proporzionalità diretta.


Esempio

Consideriamo il peso di una certa quantità di arance ($A$) e il suo prezzo al kg ($B$).

Peso delle arance (Kg) Prezzo al Kg (€)
$1$ $2$
$2$ $4$
$3$ $6$
$4$ $8$

 

Notiamo che all'aumentare del peso, anche il prezzo aumenta ed inoltre, il rapporto tra prezzo e peso si mantiene sempre costante:

$$\frac{2}{1}=\frac{4}{2}=\frac{6}{3}=\frac{8}{4}=2$$

Possiamo scrivere che

$$\frac{prezzo}{peso}=2$$

ovvero, la costante di proporzionalità diretta è $2$.

 

Grandezze inversamente proporzionali

Due grandezze $A$ e $B$ sono tra di loro inversamente proporzionali se il loro prodotto è una costate; in formule:

$$A\cdot B=k$$

$k$ è detta costante di proporzionalità inversa.


Esempio

Consideriamo il numero di lati di un poligono regolare di perimetro $360cm$ ($A$) e la misura del suo lato espressa in cm ($B$).

Numero di lati Misura del lato (cm)
$3$ $120$
$4$ $90$
$5$ $72$
$6$ $60$

Notiamo che all'aumentare del numero di lati, la misura del singolo lato diminuisce ed inoltre, il prodotto tra le due grandezze si mantiene sempre costante:

$$3*120=4*90=5*72=6*60=360$$

Possiamo scrivere che

$$n°\ lati*misura\ lato=360$$

ovvero, la costante di proporzionalità inversa è $360$.


Esempio

Sia data la seguente tabella che mostra alcuni valori delle coppie $x$ e $y$. Individuare il tipo di proporzionalità e la costante di proporzionalità.

x y
$1$ $3$
$2$ $6$
$3$ $9$
$4$ $12$

Per prima cosa notiamo che all'aumentare di $x$ aumenta pure $y$. Inoltre il loro rapporto si mantiene sempre costante:

$$\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=\frac{9}{3}=\frac{12}{4}=3$$

Si ha che $y$ è direttamente proporzionale a $x$ con costante di proporzionalità diretta pari a $3$.


Esempio

Sia data la seguente tabella che mostra alcuni valori delle coppie $x$ e $y$. Individuare il tipo di proporzionalità e la costante di proporzionalità.

x y
$80$ $40$
$50$ $64$
$25$ $128$
$10$ $320$

Per prima cosa notiamo che al diminuire di $x$, $y$ aumenta. Inoltre il loro prodotto si mantiene sempre costante:

$$80*40=50*64=25*128=10*320=3200$$

Si ha che $y$ è inversamente proporzionale a $x$ con costante di proporzionalità inversa pari a $3200$.


Esercizi da svolgere

x y
$7$ $1$
$14$ $2$
$28$ $4$
$35$ $5$

 

x y
$3$ $6$
$9$ $2$
$18$ $1$
$27$ $\frac{2}{3}$

1) Sia data la seguente tabella che mostra alcuni valori delle coppie $x$ e $y$. Individuare il tipo di proporzionalità e la costante di proporzionalità.

2) Sia data la seguente tabella che mostra alcuni valori delle coppie $x$ e $y$. Individuare il tipo di proporzionalità e la costante di proporzionalità.