Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visualizzato: 1004 volte
  • Data: 2015-02-11
  • Autore: Samuel Leanza

Numeri Primi

Quando possiamo definire i numeri primi, come avviene la scomposizione in fattori primi e come determinare il M.C.D. e il m.c.m.

Un numero naturale si dice primo se è divisibile solo per $1$ e per se stesso

Ad esempio, i numeri $5,\ 11,\ 23$ rispettivamente divisibili per $1$ e $5$, per $1$ e $11$ e per $1$ e $23$, sono primi.

Il procedimento per stabilire se un numero è primo è quello di verificare se è divisibile per tutti i numeri che lo precedono. Per velocizzare questa operazione adottiamo un metodo noto con il nome di crivello di Eratostene. Applichiamo tale tecnica alla ricerca dei numeri primi compresi fra $1$ e $60$.

Iniziamo costruendo un elenco (detto setaccio) con i numeri compresi fra i due estremi della ricerca:

$1$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$
$11$ $12$ $13$ $14$ $15$ $16$ $17$ $18$ $19$ $20$
$21$ $22$ $23$ $24$ $25$ $26$ $27$ $28$ $29$ $30$
$31$ $32$ $33$ $34$ $35$ $36$ $37$ $38$ $39$ $40$
$41$ $42$ $43$ $44$ $45$ $46$ $47$ $48$ $49$ $50$
$51$ $52$ $53$ $54$ $55$ $56$ $57$ $58$ $59$ $60$


Eliminiamo dalla tabella il numero $1$ che per convenzione si è deciso di non inserire fra i numeri primi. Il primo numero primo è il $2$; lo segniamo in rosso ed eliminiamo (setacciamo) tutti i suoi multipli.

  $2$ $3$   $5$   $7$   $9$  
$11$   $13$   $15$   $17$   $19$  
$21$   $23$   $25$   $27$   $29$  
$31$   $33$   $35$   $37$   $39$  
$41$   $43$   $45$   $47$   $49$  
$51$   $53$   $55$   $57$   $59$  


Il secondo numero è il $3$; analogamente al passaggio precedente, segniamolo in rosso ed eliminiamo tutti i suoi multipli. Otteniamo:

  $2$ $3$   $5$   $7$      
$11$   $13$       $17$   $19$  
    $23$   $25$       $29$  
$31$       $35$   $37$      
$41$   $43$       $47$   $49$  
    $53$   $55$       $59$  


Ripetiamo lo stesso procedimento colorando il $5$ ed eliminando i suoi multipli.

  $2$ $3$   $5$   $7$      
$11$   $13$       $17$   $19$  
    $23$           $29$  
$31$           $37$      
$41$   $43$       $47$   $49$  
    $53$           $59$  


Applichiamo nuovamente la procedura con il $7$

  $2$ $3$   $5$   $7$      
$11$   $13$       $17$   $19$  
    $23$           $29$  
$31$           $37$      
$41$   $43$       $47$      
    $53$           $59$  


Ripetendo tale procedimento otteniamo una tabella con molte caselle vuote; i numeri rimasti sono tutti ed i soli numeri primi compresi fra $1$ e $60$.


Scomposizione in fattori primi

Consideriamo dei numeri non primi, ovvero dei numeri che si compongono di più fattori moltiplicati tra loro:

$$14=7\cdot 2\quad\quad 18=9\cdot 2\quad\quad 20=5\cdot 4$$

Nei tre casi abbiamo operato una scomposizione del numero in fattori. Spesso è necessario ottenere una scomposizione in cui i fattori siano tutti numeri primi.

Per comprendere il procedimento da utilizzare consideriamo, ad esempio, il numero $108$.

Una sua scomposizione in fattori è data dal prodotto $12\cdot 9$.

Ciascuno di tali fattori è a sua volta scomponibile in altri fattori:

  • $12$ può essere scomposto nella forma $4\cdot 3$ (che a sua volta si può scrivere nella forma $2^2\cdot 3$);
  • $9$ può essere scomposto nella forma $3^2$.

In definitiva possiamo scrivere:

$$108=12\cdot 9=(4\cdot 3)\cdot(3^2)=2^2\cdot 3\cdot 3^2=2^2\cdot 3^3$$

L'operazione che ci permette di scrivere un numero composto come prodotto di fattori primi si dice scomposizione in fattori primi o fattorizzazione.

Un metodo pratico per svolgere la scomposizione in fattori primi di un numero, ad esempio $132$, è il seguente:

  • tracciamo alla destra della destra del numero una linea verticale;
  • applichiamo i criteri di divisibilità e scriviamo a destra del numero il più piccolo divisore del numero (cioe $2$);
  • calcoliamo la divisione fra il numero ed il divisore ($132:2$) e scriviamo il risultato ($66$) immediatamente sotto il numero $132$;
  • scriviamo a destra di $66$ il divisore più piccolo (ancora il numero $2$) e sotto al $66$ il risultato della divisione ($33$);
  • scriviamo a destra di $33$ il divisore più piccolo (il numero $3$) e sotto il $33$ il risultato della divisione ($11$);
  • il numero $11$ è primo quindi lo riscriviamo alla sua destra e, al solito, riportiamo sotto il suo quoziente ($1$).

 

 

Avendo trovato come quoziente il numero $1$, la procedura di scomposizione è terminata e possiamo scrivere:

$$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11=2^2\cdot 3\cdot 11$$


Esempio

Scomporre in fattori primi il numero $126$

Esempio

Scomporre in fattori primi i numeri $3780$ e $252$

Scomponi ciascuno dei seguenti numeri in prodotti di fattori primi.

$$38;\quad\quad 200;\quad\quad 622;\quad\quad 1656;\quad\quad 16016.$$


MCD e mcm

Dati due numeri naturali, ad esempio il $12$ e il $16$, calcoliamo i loro insiemi dei divisori:

$$D_{12}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 12\}\quad\quad D_{16}=\{1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16\}$$

Osserviamo che l'insieme dei divisori comuni ad entrambi i numeri è costituita dai numeri $1,\ 2$ e $4$ cioè $D_{12,\ 16}=\{1,\ 2,\ 4\}.

Il numero $4$ è il maggiore di tali divisori comuni e per tale ragione viene chiamato Massimo Comune Divisore (M.C.D.) dei numeri $12$ e $16$; in simboli:

$$M.C.D.(12,\ 16)=4$$

Il M.C.D. di due o più numeri è il maggiore tra i divisori comuni ai numeri dati.

Inoltre:

Due o più numeri si dicono primi tra loro se hanno $1$ come M.C.D.


Esempio

Calcoliamo il M.C.D. tra i numeri $18,\ 24,\ 30$.

Scriviamo tutti i loro divisori:

$$\begin{array}{l} D_{18}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6,\ 9,\ 18\}\\ D_{24}=\{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 6,\ 8,\ 12,\ 24\}\\ D_{30}=\{1,\ 2,\ 3,\ 5,\ 6,\ 10,\ 15,\ 30\}\end{array}$$

I divisori comuni di $18,\ 24$ e $30$ costituiscono l'insieme $D_{18,\ 24,\ 30}=\{1,\ 2,\ 3,\ 6\}$; il maggiore di essi è il numero $6$ e pertanto:

$$M.C.D.(18,\ 24,\ 30)=6$$


Calcola il M.C.D. di ciascuno dei seguenti gruppi di numeri mediante la fattorizzazione.

  • 1) $(60,\ 72)$
  • 2) $(110,\ 28)$
  • 3) $(900,\ 810)$
  • 4) $(92,\ 161,\ 506)$
  • 5) $(675,\ 450,\ 1000)$

Consideriamo adesso due numeri naturali, ad esempio il $2$ e il $3$ ed elenchiamo in ordine crescente alcuni loro multipli (escluso lo zero):

$M_2=\{2,\ 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 12,\ 14,\ 16,\ 18,\ 20,\ 22\, 24,\dots\}$

$M_3=\{3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ 21,\ 24,\ 27,\ 30,\ 33,\dots\}$

Osserviamo che l'insieme dei multipli a comune tra i due numeri è l'insieme:

$$M_{2,\ 3}=\{6,\ 12,\ 18,\ 24,\dots\}$$

Il numero $6$ è il minore di tanti multipli comuni e per questa ragione viene detto minimo comune multiplo (m.c.m) dei numeri $2$ e $3$; in simboli:

$$m.c.m.(2,\ 3)=6$$

Il m.c.m. di due numeri è il minore tra i multipli comuni ai numeri stessi.


Esempio

Calcoliamo il m.c.m. dei numeri $3,\ 4,\ 6$.

Scriviamo alcuni loro multipli:

$$\begin{array}{l} M_{3}=\{3,\ 6,\ 9,\ 12,\ 15,\ 18,\ 21,\ 24,\ 27,\dots\}\\ M_{4}=\{4,\ 8,\ 12,\ 16,\ 20,\ 24,\ 28,\dots\}\\ M_{6}=\{6,\ 12,\ 18,\ 24,\ 30,\ 36,\dots\}\end{array}$$

I multipli comuni di $3,\ 4$ e $6$ costituiscono l'insieme $M_{3,\ 4,\ 6}=\{12,\ 24,\dots\}$; il minore di essi è il numero $12$ e pertanto:

$$m.c.m.(3,\ 4,\ 6)=12$$

Calcola il m.c.m. di ciascuno dei seguenti gruppi di numeri mediante la fattorizzazione.

  • 1) $(75,\ 60)$
  • 2) $(420,\ 225)$
  • 3) $(900,\ 810)$
  • 4) $(210,\ 525,\ 735)$
  • 5) $(1200,\ 800,\ 360)$