Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visualizzato: 2024 volte
  • Data: 2014-11-13
  • Autore: Samuel Leanza

Le Potenze

Cosa sono le potenze e come si svolgono.

Dopo aver visto le operazioni aritmetiche tra numeri naturali, occupiamoci delle potenze

L'operazione di elevamento a potenza (o potenza) di un numero permette di semplificare la scrittura di una moltiplicazione.

Per comprendere cosa si intende con tale operazione, consideriamo il seguente esempio: un negoziante ordina $4$ scatole di detersivi. Ciascuna scatola contiene $4$ pacchi, ognuno dei quali contiene quattro confezioni. Quante confezioni ha ordinato il negoziante?

elevamento a potenza

Se consideriamo il procedimento che ci porta alla soluzione del nostro problema ci accorgiamo che abbiamo moltiplicato il numero $4$ per se stesso $3$ volte. A queste operazione viene dato il nome di elevamento a potenza. Il fattore che si ripete ($3$) viene detto esponente, il risultato dei vari prodotti ($64$) è detto valore della potenza. L'esponente si scrive in piccolo, in alto a destra rispetto alla base.

elementi di una potenza

Quindi, la potenza di un numero è il prodotto di tanti fattori uguali a quel numero detto base, quanti ne indica l'esponente.

 

Proprietà delle potenze

Consideriamo il prodotto $3^2\cdot 3^3$. Scriviamo per esteso il calcolo delle potenze ed eseguiamo i prodotti:

$$3^2\cdot 3^3=\underbrace{3\cdot 3}_{\mbox{due fattori}}\cdot \underbrace{3\cdot 3\cdot 3}_{\mbox{tre fattori}}=9\cdot 27=243$$

ovvero: $3^2\cdot 3^3=\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3 }_{\mbox{cinque fattori}}=3^5=243$.

Le due scritture sono dunque equivalenti e possiamo scrivere la relazione:

prodotto di potenze aventi la stessa base

Il prodotto di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.


Consideriamo il quoziente $2^5\cdot 2^3$. Anche in questo caso scriviamo per esteso il calcolo delle potenze:

$$2^5\cdot 2^3=\underbrace{(2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2)}_{\mbox{cinque fattori}}: \underbrace{(2\cdot 2\cdot 2)}_{\mbox{tre fattori}}=32:8=4=2^2$$

In forma più sintetica possiamo dire che:

quoziente di potenze aventi la stessa base

Il quoziente di due o più potenze aventi la stessa base è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti.

 

Consideriamo la potenza $(4^2)^3$. Scriviamo per esteso il calcolo delle potenze ed eseguiamo i prodotti:

$$(4^2)^3=\underbrace{4^2\cdot 4^2\cdot 4^2}_{\mbox{tre volte}}= \underbrace{4\cdot 4\ \cdot 4\cdot 4\ \cdot 4\cdot 4}_{\mbox{sei volte}}=4^6=4096$$

Quindi: $=(4^2)^3=4^6$, ovvero:

potenza di potenza

La potenza di una potenza è uguale ad una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

 

Consideriamo il prodotto $2^2\cdot 3^2$. In questo caso le basi dei fattori sono diverse; possiamo comunque trasformare le potenze in prodotti:

$$2^2\cdot 3^2=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3=4\cdot 9=36$$

In forma più sintetica possiamo dire che:

prodotto di potenze aventi lo stesso esponente

Il prodotto di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il prodotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

 

Consideriamo il quoziente $15^3: 5^3$ e scriviamo per esteso il calcolo delle potenze:

$$15^3:5^3=(15\cdot 15\cdot 15):(5\cdot 5\cdot 5)=3375:125=27$$

In sintesi possiamo scrivere:

quoziente di potenze aventi lo stesso esponente

Il quoziente di due o più potenze aventi lo stesso esponente è uguale ad una potenza che ha per base il quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

 

Esempi:

  • 1) $2^2\cdot 2^4=2^{2+4}=2^6$
  • 2) $10^5:10^2=10^{5-2}=10^3$
  • 3) $(5^2)^4=5^{2\cdot 4}=5^8$
  • 4) $2^2\cdot 3^2\cdot 5^2=(2\cdot 3\cdot 5)^2=30^2$
  • 5) $3^5\cdot 6^5:9^5=(3\cdot 6:9)^5=(18:9)^5=2^5$

 

Prendiamo in esame alcune potenze particolari in cui la base o l'esponente sono uguali a $0$ oppure a $1$.

 

Potenze con esponente zero

Consideriamo il seguente quoziente di potenze:

$$2^4:2^4=16:16=1$$

Ripetiamo ora i calcoli applicando le proprietà delle potenze:

$$2^4:2^4=2^{4-4}=2^0$$

Avendo operato con le stesse potenze, i due risultati devono essere uguali, pertanto:

$$2^0=1$$

Più in generale, deduciamo la seguente:

La potenza di un qualsiasi numero diverso da zero, con esponente zero, è sempre uguale a $1$.

 

Potenze con esponente uno

Eseguiamo il seguente quoziente di potenze:

$$7^3:7^2=343:49=7$$

Ripetiamo nuovamente i calcoli applicando le proprietà delle potenze:

$$7^3:7^2=7^{3-2}=7^1$$

Possiamo quindi concludere che:

$$7^1=7$$

Ne deduciamo la seguente:

Una potenza con esponente $1$ è sempre uguale alla base stessa.

Applichiamo adesso il calcolo delle potenze ai seguenti esempi:

  • a. $1^3=1\cdot 1\cdot 1=1$
  • b. $0^5=0\cdot 0\cdot 0\cdot 0\cdot 0=0$

Ne deduciamo le seguenti:

  • Le potenze del numero $1$ sono sempre uguali a $1$ qualunque sia l'esponente.
  • Le potenze del numero $0$, con esponente diverso da zero, sono sempre uguali a $0$; la potenza $0^0$ non ha significato.