Matematica

  • Materia: Matematica
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  • Data: 2014-10-15
  • Autore: Samuel Leanza

Proporzioni

Cosa sono e come si risolvono le proporzioni

Dopo aver visto cosa sono i rapporti, cerchiamo di capire cosa sono le proporzioni.
Per incominciare, una proporzione è un'uguaglianza tra due rapporti.

$$A:B=C:D$$
 

$A,\ B,\ C,\ D$ si dicono termini della proporzione. In particolare $A$ e $D$ si dicono estremi, mentre $B$ e $C$ si chiamano medi.

Proprietà delle proporzioni

Le proporzioni godono delle seguenti proprietà.
 

1) Regola fondamentale

Il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi: $A\cdot D=B\cdot C$

Esempio

Consideriamo la proporzione $15:5=30:10$

Applicando la regola precendente, avrei: $15*10=5*30$ che effettivamente è ancora un'uguaglianza.


2) Proprietà dell'invertire

$A:B=C:D$ è equivalente a $B:A=D:C$:

Esempio

Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $5:15=10:30$


3) Proprietà del permutare gli estremi

$A:B=C:D$ è equivalente a $D:B=C:A$:

Esempio

Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $10:5=30:15$


4) Proprietà del permutare i medi

$A:B=C:D$ è equivalente a $A:C=B:D$:

Esempio

Si verifica facilmente come la proporzione $15:5=30:10$ sia equivalente a $15:30=5:10$
 

5) Proprietà del comporre

$A:B=C:D$ è equivalente a $(A+B):B=(C+D):D$ oppure $(A+B):A=(C+D):C$:
 

6) Proprietà dello scomporre

Supposto $A>B$, $A:B=C:D$ è equivalente a $(A+B):B=(C+D):D$ oppure $(A+B):A=(C+D):C$:

 

Come svolgere le proporzioni con un'incognita

Se l'incognita della proporzione è un medio, allora esso si calcola facendo il prodotto dei due estremi diviso l'altro medio

Ovvero, data la proporzione $A:x=C:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:

$$x=\frac{A\cdot D}{C}$$

Analogamente, data la proporzione $A:B=x:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:

$$x=\frac{A\cdot D}{B}$$


Se, invece, l'incognita della proporzione è un estremo, allora esso si calcola facendo il prodotto dei due medi diviso l'altro estremo

In altre parole, data la proporzione $x:B=C:D$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:

$$x=\frac{B\cdot C}{D}$$
 

Analogamente, data la proporzione $A:B=C:x$, il valore dell'incognita $x$ si calcola nel seguente modo:

$$x=\frac{B\cdot C}{A}$$


Esempio

Sappiamo che per preparare $150gr$ di marmellata di fragole occorrono $2000gr$ di fragole. Quanti grammi di fragole occorrono se volessimo preparare $250gr$ di marmellata?

Indichiamo con $x$ i chili di fragole che occorrono per preparare $250gr$ di marmellata. La proporzione si imposta dicendo che $150gr$ stanno a $2000gr$ come $250gr$ stanno a $x$. In formule scriveremo:

$$150:2000=250:x$$

Essendo l'incognita un estremo, possiamo calcolarla facendo il prodotto tra i medi e dividendo per l'altro estremo:

$$x=\frac{2000*250}{150}=\frac{500000}{150}=3333,33$$

Quindi, abbiamo bisogno di circa $3333gr$ di fragole per preparare $250gr$ di marmellata.


Esempio

$17$ bombole hanno gas per $30$ giorni. Se le bombole fossero $4$, quanti giorni durerebbe il gas?

Indichiamo con $x$ il numero di giorni entro cui le $4$ bombole forniscono gas. La proporzione può essere impostata nel seguente modo: $17$ bombole stanno a $30$ giorni come $4$ bombole stanno a $x$ giorni

$$17:30=4:x$$

Come prima, per calcolare $x$ facciamo il prodotto tra i medi e dividiamo per l'altro estremo:

$$x=\frac{30*4}{17}=\frac{120}{17}=7,06$$

Quindi, $4$ bombole fornirebbero gas per circa $7$ giorni.


Esempio

Un rubinetto impiega $2h$ e $10 m$ per riempire una vasca della capacità di $60 l$. Calcolare in quanto tempo verserebbe $40 l$.

Indichiamo con $x$ il tempo in minuti. Innanzitutto trasformiamo il tempo di $2h$ e $10 m$ in minuti

$$2h\ 10m=60*2+10=130m$$

Impostiamo la proporzione:

$$130:60=x:40$$

Poichè l'incognita è un medio, per calcolare $x$ facciamo il prodotto tra gli estremi e dividiamo per l'altro medio:

$$x=\frac{130*40}{60}=\frac{5200}{60}=86,67m$$

Trasformando $86,67m$ in ore e minuti otteniamo:

$$86,67m=1h\ 27m$$

Quindi, il rubinetto impiegherebbe circa $1h$ e $27m$ per versare $40l$ di acqua.


Esercizi da svolgere sulle proporzioni

1) Per partecipare a una gita scolastica, un gruppo di $32$ ragazzi deve versare una quota procapite di $16,50$ euro. Poco prima di partire, $6$ ragazzi si ritirano. A quanto ammonta adesso la quota per ragazzo?

2) Un auto impiega $3$ ore per spostarsi da Catania a Palermo alla velocità media $100km/h$. Calcolare la velocità media di un altra auto che percorre lo stesso tragitto in $2$ ore.?

3) Per la costruzione di un muro in pietra in $10$ giorni, sono necessari 15 operai. Quanti operai sono necessari se si volesse anticipare la fine dei lavori di 2 giorni?