Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visualizzato: 973 volte
  • Data: 2014-10-15
  • Autore: Samuel Leanza

Rapporti

Cosa sono e come si risolvono i rapporti

Dati due numeri $a$ (antecedente) e $b$ (conseguente) con $b\neq 0$, chiamiamo rapporto il quoziente tra $a$ e $b$. Esso può essere indicato tramite una divisione ($a:b$), una frazione $\left(\frac{a}{b}\right)$ o un numero (decimale o naturale).


Rapporto: esercizio svolto

Il rapporto tra le partite di calcio vinte da una squadra durante un torneo e le partite giocate è di $8$ a $13$.

Tale rapporto, come detto può essere indicato in tre diversi modi:

$8:13=\frac{8}{13}=0,6154$

 

Rapporto: esercizio svolto 2

In un anno una gallina riesce a fare $15$ pulcini di cui solo $5$ riescono a sopravvivere. Il rapporto tra i pulcini che sopravvivono e quelli che nascono è di $5$ su $15$.

$5:15=\frac{5}{15}=\frac{1}{5}=0,2$
 

Rapporto inverso

Definiamo rapporto inverso di $\frac{a}{b}$ il rapporto che si ottiene scambiando il numeratore (o antecedente) con il denominatore (o conseguente) e si indica con $\frac{b}{a}$.  Il prodotto tra un rapporto e il suo inverso è pari a $1$.


Rapporto inverso: esercizio svolto

Il rapporto inverso di $\frac{3}{5}$ è $\frac{5}{3}$.
 

Prodotto tra un rapporto e il suo inverso: esercizio svolto

$\frac{3}{5}\cdot\frac{5}{3}=1$.

 

Proprietà invariantiva di un rapporto

Nei rapporti vale la proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo i termini di un rapporto per la stessa quantità, il rapporto non cambia.

Esempio

$\frac{3}{5}=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{6}{10}$.

 

Rapporti omogenei

Prima di definire il rapporto tra due grandezze omogenee diamo la seguente definizione:

Due grandezze si dicono omogenee se hanno la stessa unità di misura.


Rapporti omogenei: esercizi svolti

La misura della base di un triangolo è $b=15cm$ mentre l'altezza è $h=5cm$. $b$ e $h$ sono due grandezze omogenee perchè espresse entrambi con la stessa unità di misura ovvero in $cm$.

Analizziamo il rapporto tra due grandezze omogenee. Se, nell'esempio precedenti volessi fare il rapporto tra base e altezza del triangolo, otterei:

$$\frac{b}{h}=\frac{15cm}{5cm}=3$$

Notiamo che ottengo una numero senza unità di misura, ovvero un numero puro. Dunque, il rapporto tra due grandezze omogenee è un numero puro.

 

Rapporti non omogenei

Banalmente, due grandezze si dicono non omogenee se non hanno la stessa unità di misura


Rapporti non omogenei: esercizi svolti

Dalla fisica, sappiamo che se un macchina percorre $400km$ in $3h$, la velocità media si calcola facendo:

$$v=\frac{s}{t}=\frac{400km}{3h}=133,3km/h$$

In questo caso, la velocità non è un numero puro perchè ha un'unità di misura. il rapporto tra due grandezze non omogenee viene detto grandezza derivata. Nel nostro caso, la velocità è una grandezza derivata.