Matematica

  • Materia: Matematica
  • Visualizzato: 11243 volte
  • Data: 2014-10-15
  • Autore: Samuel Leanza

Teorema di Pitagora

Spiegazione del teorema di Pitagora con esempi e formule.

Il triangolo rettangolo è un poligono composto da tre lati (in generale diversi) e da tre angoli di cui uno retto ($90^°$). La base e l'altezza vengono chiamati cateti, mentre il lato obliquo ipotenusa

 

Il teorema di Pitagora afferma che in un triangolo rettangolo, il quadrato costruito sull'ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Formule Teorema di Pitagora

$$c^2=b^2+h^2$$ 

Dal teorema di Pitagora si ricavano le seguenti formule per un triangolo rettangolo:

- Base con altezza e ipotenusa note: $b=\sqrt{c^2-h^2}$

- Altezza con base e ipotenusa note: $h=\sqrt{c^2-b^2}$

- Ipotenusa con altezza e base note: $c=\sqrt{b^2+h^2}$

 

 

Esercizi svolti sul Teorema di Pitagora

Vediamo alcune applicazioni del teorema di Pitagora


Esercizio 1

L'altezza di un triangolo rettangolo è lunga $16 cm$ e l'area è pari a $320 cm^2$. Calcola l'ipotenusa del triangolo.

Dati del problema:

  • - $h=16cm$
  • - $A=320cm^2$
  • - $c=?$

Troviamo la base del triangolo:

$b=\frac{A}{h}=\frac{320}{16}=20cm$

Troviamo l'ipotenusa applicando il teorema di Pitagora

$c=\sqrt{b^2+h^2}=\sqrt{20^2+16^2}=\sqrt{400+256}=\sqrt{656}=25,61cm$

 

Esercizio 2

Calcolare l'area di un triangolo rettangolo isoscele avente ipotenusa pari a $12cm$.

Dati del problema:

  • - $c=12cm$
  • - $A=?$

Poichè il triangolo rettangolo è isoscele $b=h$.Dal teorema di pitagora abbiamo che

$c^2=b^2+h^2=b^2+b^2=2b^2$

Dunque, abbiamo trovato che:

$c^2=2b^2\Rightarrow b^2=\frac{c^2}{2}\Rightarrow b=\frac{c}{\sqrt{2}}$

Applicando l'ultima espressione trovata possiamo ricavarci $b=h$:

$b=\frac{c}{\sqrt{2}}=\frac{12}{\sqrt{2}}=8,49cm$

Dunque, l'area del triangolo sarà:

$A=b*h=8,49*8,49=72,0801cm^2$

 

Esercizio 3

Un triangolo rettangolo ha la base è congruente al lato di un quadrato avente area pari a $27 cm^2$. L'ipotenusa è lunga $9 cm$. Calcolare il valore dell'altezza, dell'area e del perimetro del triangolo.

Dati del problema:

  • - $A_q=27cm^2$
  • - $c=9cm$
  • - $h=?$\quad A_t=?\quad P_t=?

Ricaviamoci com prima cosa il lato del quadrato che è congruente alla base del triangolo:

$l=b=\sqrt{A_q}=\sqrt{27}=5,20cm$

Conoscendo l'ipotenusa e la base del triangolo possiamo ricavarci l'altezza:

$h=\sqrt{c^2-b^2}=\sqrt{9^2-5,20^2}=\sqrt{81-27}=\sqrt{54}=7,35cm$

Calcoliamo infine area e perimetro del triangolo:

$A=\frac{b*h}{2}=\frac{5,20*7,35}{2}=19,11cm^2$
$P=b+h+c=5,20+7,35+9=21,55cm$


Esercizi da svolgere sul Teorema di Pitagora 

Risolvere i seguenti problemi

1) In un triangolo rettangolo i cateti sono lunghi rispettivamente $4cm$ e $7,5cm$. Calcolare la misura dell'ipotenusa.

2) In un triangolo rettangolo un cateto misura $15mm$, mentre l'ipotenusa è $17,7mm$. Calcolare il perimetro del triangolo.

3) La base minore di un trapezio rettangolo misura $4 cm$ e quella maggiore il doppio della minore. L'ipotenusa misura $7 cm$. Calcolare altezza, area e perimetro del trapezio.