Liceo Scientifico "G.Battaglini"
Taranto

 

La probabilità

Il concetto di probabilità, introdotto nel '600, è andato precisandosi nel tempo, divenendo la base di una branca della statistica ( statistica inferenziale), cui fanno continuamente ricorso numerose scienze sia naturali che sociali. Al momento non esiste ancora un'interpretazione universalmente accettata e della probabilità vengono date diverse definizioni:

  • Definizione classica (Laplace): La probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi dell'evento e il numero dei casi possibili, purché questi ultimi siano tutti ugualmente possibili. Quindi per la teoria classica, dato l'insieme E degli esiti elementari di un esperimento e un suo sottoinsieme A (detto evento), se i casi possibili sono e i casi favorevoli al verificarsi dell'evento A sono , la probabilità che si verifichi l'evento A sarà data da:

L'evento certo ha probabilità 1, quello impossibile ha probabilità 0. La teoria classica considera che tutti i casi siano equiprobabili, cosa che, invece, nella realtà non sempre accade. La legge frequentista o legge empirica del caso, partendo dalla considerazione che gli eventi non sempre sono equiprobabili, si basa sulla sperimentazione.

  • Definizione frequentista (Von Mises): La probabilità di un evento è il limite a cui tende la frequenza relativa dell'evento stesso quando il numero delle prove tende all'infinito.
    Per la teoria frequentista, detto il numero di prove effettuate ed la frequenza con cui si verifica l'evento A, la probabilità sarà data da: .
    Tale definizione poggia su quella che è definita legge empirica del caso ovvero legge dei grandi numeri: in una successione di prove effettuate nelle medesime condizioni, la frequenza di un evento si avvicina alla probabilità dell'evento stesso, e l'approssimazione tende a migliorare con l'aumentare delle prove.
    Essa si applica ad esperimenti casuali i cui eventi elementari non si possono ritenere ugualmente possibili, ma l'esperimento è ripetibile più volte sotto le stesse condizioni.

    Il link sottostante fornisce un esperimento virtuale (simulazione dell'urna di Boltzmann) attraverso cui è possibile calcolare la probabilità, facendo ricorso alla definizione frequentista; tale esperimento consente di effettuare il confronto tra frequenza e probabilità.

    http://www.griaf.unipa.it/ProTerm/entropia/applets/urna/applet_estrazioni.htm

  • Definizione soggettiva o soggettivista (De Finetti, Savage, Ramsey): La probabilità di un evento è il grado di fiducia che un individuo nutre nel verificarsi dell'evento in questione, sulla base dell'esperienza personale e delle informazioni disponibili in un determinato momento.
    Si applica a esperimenti casuali i cui eventi elementari non si possono ritenere ugualmente possibili e l'esperimento non è ripetibile più volte sotto le stesse condizioni.

    Immaginiamo che ci sia una partita di calcio e che lo spazio dei tre eventi siano "la vittoria della squadra di casa, la vittoria della squadra ospite e il pareggio". Vediamo cosa succede con i tre approcci:

      • secondo la teoria classica esiste 1 probabilità su 3 che avvenga il primo evento
      • secondo la teoria frequentista ci si può dotare di un almanacco, controllare tutte le partite precedenti e calcolare la frequenza di un evento
      • secondo la teoria soggettiva, ci si può documentare sullo stato di forma dei calciatori, sul terreno di gioco e così via fino ad emettere una probabilità soggettiva.

Possiamo notare che nella definizione classica è contenuto un vizio logico: supporre che tutti i casi siano egualmente possibili implica aver definito in precedenza la probabilità nel momento stesso in cui la si definisce.
La definizione frequentista viene messa in crisi
in quanto, essendo una legge sperimentale necessita di un numero molto elevato di osservazioni, inoltre è generalmente impossibile ripetere le prove nelle medesime condizioni, anzi in molte situazioni le prove non sono ripetibili.
La definizione soggettivista si contrappone a quella classica e a quella frequentista in quanto non riconosce alla probabilità alcun contenuto oggettivo, ma per tale motivo non è accettata da molti.
L'impostazione assiomatica della probabilità, proposta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov nel 1933 sviluppa la ricerca sul dibattito fra quanti consideravano la probabilità come il limite di frequenze relative e quanti cercavano un fondamento logico della stessa.

  • Definizione assiomatica (proposta da Andrey Nikolaevich Kolmogorov nel 1933):La probabilità viene definita in termini di insiemi e di teoria della misura, in modo da ottenere una costruzione formale della teoria della probabilità a prescindere dal significato da attribuire al termine probabilità.
    La teoria della probabilità pertanto, secondo i matematici, è lo studio di uno spazio astratto di probabilità (su cui sono ad esempio definite le variabili casuali).

Alla base della trattazione della teoria assiomatica della probabilità c'è il concetto di e quello di spazio di probabilità.


Dato un insieme e una famiglia di sottoinsiemi di (cioè ), si dice che è una su se gode delle seguenti proprietà:

Teoria assiomatica della probabilità
La teoria assiomatica della probabilità assume come concetto base quello di spazio di probabilità.
Si chiama spazio di probabilità una terna , dove

  • è un insieme non vuoto, chiamato spazio campionario, i cui elementi si possono pensare come gli esiti elementari possibili di un esperimento.
  • è una di sottoinsiemi di i cui elementi sono chiamati eventi.

P è una misura della probabilità in , così definita:

Esempio
Preso un mazzo di 52 carte da gioco e due jolly, se estraiamo una singola carta dal mazzo, allora lo spazio campionario è un set di 54 elementi, in quanto ogni carta individualmente è un possibile risultato. Un evento, invece, è qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario, incluso qualsiasi insieme singolo (cioè uno dei 54 eventi elementari, difatti ognuno di essi rappresenta una delle possibili carte che si possono estrarre dal mazzo), l'insieme vuoto (che è definito avere probabilità zero) e l'intero set di 54 carte, cioè lo spazio campionario stesso (che è definito avere probabilità uno). Altri eventi sono sottoinsiemi propri dello spazio campionario, ognuno dei quali contiene elementi multipli.
Quindi, per esempio, eventi potenziali includono:

  • Rosso e nero insieme, ma non jolly" (0 elementi),
  • Il 5 di cuori" (un elemento),
  • Un Re" (4 elementi),
  • Una carta di picche" (13 elementi),
  • Una carta (54 elementi).

Teoremi
Dagli assiomi della probabilità derivano alcuni teoremi fondamentali, quali:

  • il teorema della probabilità totale:
  • il teorema della probabilità composta:
  • il teorema della probabilità assoluta:
  • il teorema di Bayes:

nonché concetti chiave come:

  • la probabilità condizionata:
  • l'indipendenza stocastica: