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La relatività - Einstein
Ma di che sostanza è il
tempo? E dove esso si forma? [
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La notte guardo gli spazi fra le stelle, vedo il vuoto senza misura;
e ciò che travolge e porta via, è il momento fisso privo
di inizio e di fine.
Antonio Tabucchi
Un po' "banalizzata" dalla letteratura, lo
studio del tempo e dello spazio come grandezze relative fu portato
a compimento da A. Einstein nella sua teoria della relatività.
Alla base della formulazione matematica della teoria della relatività
ristretta (o speciale) di Einstein, discendenti dal postulato di invarianza
della velocità della luce, sono le trasformazioni di Lorentz.
Esse furono inizialmente introdotte per rimuovere le contraddizioni
esistenti tra elettromagnetismo e meccanica classica e spiegare i
risultati nulli dell'esperimento di Michelson-Morley tramite l'introduzione
del fenomeno della contrazione delle lunghezze. Sotto di esse le equazioni
dell'elettromagnetismo rimangono invarianti nel passaggio tra due
sistemi di riferimento tra loro in moto relativo.
La luce e tutte le altre radiazioni elettromagnetiche si propagano
a una velocità costante nel vuoto, la velocità della
luce. Tale velocità rappresenta una costante fisica indicata
tradizionalmente con la lettera c (dal latino celeritas, "velocità").
Indipendentemente dal sistema di riferimento di un osservatore o dalla
velocità dell'oggetto che emette la radiazione, ogni osservatore
otterrà lo stesso valore della velocità della luce.
Nessuna informazione può viaggiare più velocemente di
c.
In particolare: =
299 792 458 m/s che si approssima con 300.000 km/s.
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Trasformazioni di Lorentz tra due sistemi di riferimento
inerziali in configurazione standard
Una trasformazione di Lorentz è una trasformazione
lineare con cui ricaviamo, a partire dalle coordinate nel sistema di
riferimento S (t, x, y, z), le coordinate rispetto al sistema di riferimento
S'(t', x', y', z') di un evento nello spaziotempo. Senza perdere di
generalità, si può assumere che S' abbia i tre assi spaziali
paralleli a quelli di S, che il sistema S' si muova con velocità
lungo l'asse x di S e che le origini dei due sistemi di riferimento
coincidano per t' = t = 0. Questi due sistemi di riferimento sono detti
in condizioni standard. Sotto queste condizioni le trasformazioni
di Lorentz assumono la forma:
;
dove
e c
è la velocità della luce nel vuoto.
Ricorrendo a tali trasformazioni, le
equazioni di Maxwell restano invariate.
Come conseguenza delle trasformazioni di Lorentz si ha che:
- la velocità della luce ha lo stesso valore c
in
qualunque sistema di riferimento. Anzi, essa rappresenta una velocità
limite, cioè la velocità v di un qualsiasi corpo è
sempre tale che v<c, infatti se fosse v>c, la quantità
diventerebbe immaginaria e la prima e la quarta trasformazione di
Lorentz perderebbero di significato
- La lunghezza (a riposo)
di
un regolo di estremi A, B(coordinate misurate nello stesso istante),
misurata nel riferimento mobile, risulta contratta del fattore
se viene misurata nel riferimento fisso.
- La durata di un fenomeno, misurata in un punto di un sistema mobile,
appare dilatata del fattore
se viene misurata nel sistema fisso.
- Due eventi che sono contemporanei nel riferimento mobile non sono
contemporanei nel riferimento fisso.
Contrazione delle lunghezze
Infatti, considerate le coordinate di e
,
nel sistema di riferimento in moto, le coordinate spaziotemporali del
regolo nel sistema fisso saranno:

Indicata con L la lunghezza del regolo nel sistema di riferimento fisso,
avremo:

Per calcolare L è necessario che sia :

L'espressione delle lunghezze del regolo nel riferimento fisso è:


Se
Pertanto la lunghezza è una quantità relativa ed è
contratta nel riferimento in quiete.
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Navicella che viaggia al 10% della velocità della luce.
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Navicella che viaggia all'87% della velocità
della luce.
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Navicella che viaggia al 99% della velocità
della luce
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Navicella che viaggia al 99,9% della velocità della luce |
Dilatazione dei tempi
Quale misura ottiene un osservatore fisso?!
Dal suo punto di vista risulta:

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