INFINTO |
Fonti |
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Matematica |
Accostare Infinito e Matematica può sembrare collegamento azzardato. L'Infinito, come pure il suo corrispondente temporale, l'Eterno, è tema adeguato per Religione, Filosofia o Letteratura, ma forse non per la scienza positiva. Meno che mai per la più positiva delle scienze e cioè la matematica.. Del resto, l'Infinito (in-definito, in-determinato) è, per sua stessa etimologia e natura, ed anche per la comune opinione, ciò che sfugge ad ogni possibile classificazione e misura, mentre la Matematica tende a (e pretende di) classificare e misurare ogni oggetto che esamina. Eppure, a smentire tutte queste pur ragionevoli premesse, va detto che la Matematica è stata capace nella sua storia più recente di intuire, accarezzare ed anche misurare l'Infinito, fin quasi a sognare di dominarlo completamente. Questo è il tema che vogliamo trattare. Gli stessi numeri naturali 0, 1, 2, ... sono sì ciascuno singolarmente finito, ma costituiscono complessivamente un insieme infinito. La loro successione si snocciola senza limitazioni in una strada senza fine. Tuttavia, come già Aristotele osservava, bisogna esercitare un po' di finezza quando si parla di infinito e distinguere la sua forma potenziale da quella attuale. È possibile pronunciare un numero maggiore di tutti?no,perché il numero più alto non c’è. La successione crescente dei numeri interi naturali non ha fine,è infinita,perché : determinato comunque un numero naturale è sempre possibile fissare un numero maggiore di esso. La definizione di ‘infinito potenziale’, per una successione di elementi è questa: la possibilità di procedere sempre oltre,senza che ci sia un elemento ultimo. Quindi la successione dei numeri naturali è composta da una quantità inesauribile di elementi,si può andare sempre avanti, senza fine, perché si può aggiungere sempre una unità. Si tratta di una successione infinita discreta: fatto un passo, è ben chiaro quale deve essere il successivo. Diverso è il caso della retta. Qui la successione infinita è continua: arrivati a un certo punto, non ha senso parlare del punto ad esso immediatamente successivo, perchè tra un punto e un altro che lo segue ci sono sempre infiniti punti che formano un segmento anch'esso continuo, infinitamente divisibile in parti esse stesse continue. Qui sembra ci sia qualcosa in più della possibilità di andare avanti all'infinito: passando dal punto P a un punto successivo Q si passa attraverso infiniti punti. Un infinito in atto, dunque, collezione infinita compiutamente data di tutti i suoi punti, e non solo in potenza; un'infinità compiuta, e non soltanto non completabile.
Alla fine dell'Ottocento, due matematici tedeschi, Richard Dedekind e Georg Cantor, stabiliscono l'esistenza dell'infinito in atto. Cantor riuscì addirittura a dimostrare che tale infinito non è unico,il suo ragionamento parte dall'affermazione principale da cui deriva quasi tutta la concezione aristotelica dell'infinito, "Il tutto è più grande della parte". Cantor e Dedekind, pongono alla base del loro edificio una corrispondenza biunivoca tra due insiemi, ossia, presi due insiemi A e B, si associa ad ogni elemento di A uno e un solo elemento di B, e ad ogni elemento di B uno e un solo elemento di A. Essi ritengono che due insiemi tra cui si possa stabilire una simile corrispondenza biunivoca abbiano lo stesso numero di elementi. Si pone allora la definizione fondamentale: due insiemi tra cui sussiste una corrispondenza biunivoca sono equivalenti, o meglio equipotenti. Tra il 1870 e il 1880 gli studi di Cantor e Dedekind hanno prodotto una rivoluzione nella matematica. Rovesciando completamente la tradizionale affermazione sulla parte che non può essere uguale al tutto, essi la assumono come proprietà fondamentale che definisce lo strano comportamento dell'infinito. Stabiliscono: "un insieme è infinito quando è equipollente con una sua parte propria". L'insieme N dei numeri interi è, ad esempio, infinito. Infatti è possibile stabilire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme N di tutti i numeri interi e l'insieme P dei numeri interi pari, che è certamente una parte propria di N . La corrispondenza è la seguente: ad ogni numero intero di N si fa corrispondere il suo doppio, che è un numero pari, dunque elemento di P. Viceversa ad ogni elemento di P, che è pari, si fa corrispondere la sua metà, che è un intero, dunque un elemento di N. Ecco l'infinito realizzato, in atto. L'insieme dei numeri interi non è più grande di una delle sue parti. Questo infinito svelato viene detto numerabile , o discreto. Stabilito questo pilastro centrale, l'edificio di Cantor e Dedekind ha potuto strutturarsi con sbalorditiva semplicità, demolendo qui e là certezze che resistevano da anni e anni. |
CANTOR
Dedekind
Corrispondenza biunivoca |