A cura di: Gianni Sammito

Sia $mathcal{V}$ uno spazio vettoriale sul campo dei numeri complessi, con $dim(mathcal{V}) = 3$. Siano poi $A,B,C,D,P,Q,R,S$ vettori di $mathcal{V}$, ove ${A,B,C}$ genera $mathcal{V}$, $D = A – B + C$, $R = 2P + 2Q$ ed $S = -P – Q$.
  1. Esistono trasformazioni lineari $phi: mathcal{V} to mathcal{V}$ che portino la terna ordinata $(A,B,C)$ sulla terna $(P,Q,R)$? Se sì, quante ne esistono? Se no, passare direttamente alla domanda 7.
  2. Esprimere $phi(D)$ come combinazione lineare di $P$ e $Q$.
  3. Che relazione c’è fra $"rank"(phi)$ e $"rank"(P,Q)$?
  4. Che relazione c’è fra $"Im"(phi$ e $L(P,Q)$?
  5. È possibile che $phi$ sia invertibile?
  6. Indicando con $(p_A, p_B, p_C)$ e $(q_A, q_B, q_C)$ le terne di coordinate di $P$ e $Q$ rispetto alla base ordinata $(A,B,C)$ di $mathcal{V}$, scrivere la matrice che rispetta $phi$ rispetto ad $(A, B, C)$.
  7. Esiste una trasformazione lineare che porti $(A, B, C, D)$in $(P, Q, R, S)$?
  • No, nessuna
  • Sì, una trasformazione che porta $(A, B, C)$ in $(P, Q, R)$ porta anche $D$ in $S$
  • Sì, ma se e solo se $2P + Q = O$

Dette $(p_A, p_B, p_C)$ le coordinate di $P$ rispetto alla base ${A, B, C}$, e dette $(q_A, q_B, q_C)$ quelle di $Q$ rispetto alla stessa base, si può scrivere $D=(1,-1,1)$, $R=(2p_A + 2q_A, 2p_B + 2q_B, 2p_C + 2q_C)$, $S=(-p_A – q_A, -p_B – q_B, -p_C – q_C)$, $A=(1,0,0)$, $B=(0,1,0)$, $C=(0,0,1)$ (ovviamente tutti i vettori sono espressi rispetto alla base ${A, B, C}$).
L’applicazione $phi$ richiesta deve essere tale che $phi(A)=P$, $phi(B)=Q$, $phi(C)=R$. Dato che $A, B, C$ sono i vettori che formano la base di riferimento, la matrice che rappresenta $phi$ sarà quella che ha per colonne i vettori $P, Q, R$, espressi rispetto alla base ${A, B, C}$, pertanto la trasformazione $phi$ richiesta esiste ed è unica.
Dato che è possibile esprimere $phi$ tramite una matrice, allora questa è un’applicazione lineare.
 
$phi(D) = phi(A-B+C) = phi(A) – phi(B) + phi(C) = P-Q+R$
 
e in questa catena di uguaglianze è stato sfruttato il fatto che $phi$ è un’applicazione lineare.
La matrice che rappresenta l’applicazione $phi$ rispetto a ${A, B, C}$ è:
 
$((p_A, q_A, 2p_A + 2q_A),(p_B, q_B, 2p_B + 2q_B),(p_C, q_C, 2p_C + 2q_C))$
 
Si vede che la terza colonna è combinazione lineare delle prime due, quindi il rango della matrice, e quindi dell’applicazione, è pari alla dimensione dello spazio generato da $P$ e $Q$, di conseguenza $rank(phi) = rank(P, Q)$.
L’immagine è lo spazio generato dalle colonne, dato che l’ultima è combinazione delle prime due si può dire che l’immagine è lo spazio generato dalle prime due colonne, ovvero $"Im"(phi) = L(P,Q)$.
$phi$ non può essere invertibile, perché la terza colonna è una combinazione lineare delle prima due, dato che le tre colonne sono vettori linearmente dipendenti il determinante è zero, e l’applicazione non risulta invertibile.
Per una trasformazione $phi$ che porta $(A, B, C, D)$ in $(P, Q, R, S)$, deve valere $phi(D) = S$, cioè $P-Q+R = -P-Q$, ovvero $P-Q+2P+2Q=-P-Q$, cioè $4P+2Q=O$, quindi esiste una tale trasformazione se e solo se $2P+Q=O$, dove $O$ indica il vettore nullo.
 
FINE