A cura di: Gianni Sammito

Stabilire per quali $alpha in mathbb{R}$ il seguente integrale converge:
$int_{1}^{2} frac{x+1}{sin(sqrt{(2-x)^{alpha}}) cdot ln(sqrt{3-x})} dx$ (1)

Ponendo $t = 2 – x$, da cui $-dt = dx$, e osservando che $x = 1 implies t = 1$, $x = 2 implies t = 0$, l’integrale (1) diventa
$-int_{1}^{0} frac{3-t}{sin(sqrt{t^{alpha}}) cdot ln(sqrt{1+t})}dt = int_{0}^{1} frac{3-t}{sin(sqrt{t^{alpha}}) cdot ln(sqrt{1+t})}dt$ (2)
Per $0 < t < 1$ risulta $1 + t > 0$, pertanto $ln(sqrt{1 + t}) = ln(1 + t)^{frac{1}{2}} = frac{1}{2} ln(1 + t)$, e inoltre $sin(sqrt{t^{alpha}}) = sin(t^{frac{alpha}{2}})$. Quindi (2) equivale a
$int_{0}^{1} frac{2(3 – t)}{sin(t^{frac{alpha}{2}}) ln(1+t)} dt$
L’integrale è improprio in $t=0$; per $t to 0$ risulta
$sin(t^{frac{alpha}{2}}) approx t^{frac{alpha}{2}} quad quad ln(1 + t) approx t$
Dato che
$lim_{t to 0} frac{frac{2(3 – t)}{sin(t^{frac{alpha}{2}}) ln(1 + t)}}{frac{1}{t^{frac{alpha}{2}} t}} = lim_{t to 0} 2 (3 – t) cdot frac{t^{frac{alpha}{2}}}{sin(t^{frac{alpha}{2}})} cdot frac{t}{ln(1 + t)} = 6$
allora $frac{2 (3 – t)}{sin(t^{frac{alpha}{2}}) ln(1 + t)} ~ frac{1}{t^{frac{alpha}{2}} t} = frac{1}{t^{frac{alpha}{2} + 1}}$, pertanto (1) converge se e solo se converge
$int_{0}^{1} frac{1}{t^{frac{alpha}{2} + 1}} dt$
Tale integrale converge solo se $frac{alpha}{2} + 1 < 1 implies alpha < 0$, pertanto l’integrale (1) converge per
$alpha in (-infty, 0)$
FINE