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Riscriviamo il limite dato

$lim_{nrightarrowinfty}[2^n+1-2nsin(frac{1}{n})]=$

in diversa forma

$lim_{nrightarrowinfty}[2^n+1-2frac{sin(frac{1}{n})}{frac{1}{n}}]=$

$lim_{nrightarrowinfty}(2^n+1)-lim_{trightarrow 0}(2cdotfrac{sin t}{t})=+infty+1-2=+infty$

ove si è posto $frac{1}{n}=t$