A cura di: Stefano Sannella
Si trovi il seguente limite
$lim_(xto 0)(logx-logtanx)/(1+x)^(1/x)$
Osserviamo separatamente numeratore e denominatore.
Il numeratore
$logx-logtanx$ può essere riscritto in questo modo
$log(x/tanx)$ in virtù della nota proprietà del logaritmo.
Il valore di x tende a zero, quindi l'argomento del logaritmo tende a uno, infatti
$x/(tanx)=cosx*x/(sinx)=1*1$ sfruttando il limite notevole del rapporto tra arco e seno con argomento che va a zero.
Pertanto, un logaritmo avente argomento che tende a 1, tende di per sè a zero
(infatti $log1=0$).
Abbiamo concluso che il numeratore tende a zero.
Il denominatore
$(1+x)^(1/x)$
può essere trattato più agevolmente se poniamo
$t=1/x$ con $t->oo$ dal momento che $x->0$
ottenendo
$(1+1/t)^t$
E' facilmente riconoscibile il limite notevole, perciò possiamo dire senza problemi che il denominatore tende a $e$
Pertanto, la forma finale è
$0/e$
ovvero
$0$
FINE
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