Il cerchio è una figura geometrica del piano di forma circolare. Il punto centrale del cerchio è detto centro, mentre il perimetro è chiamato circonferenza la quale viene indicata con la lettera $C$.

Quindi, cerchio e circonferenza sono due concetti differenti: il cerchio è costituito da tutti i punti del piano racchiusi da una circonferenza (vedi area grigia nella figura soprastante), invece la circonferenza è costituita da tutti i punti che si trovano sul percorso esterno (vedi bordo nero nella figura soprastante).

Ogni segmento che unisce il centro del cerchio con un punto della circonferenza è detto raggio. Esso viene indicato spesso con la lettera $r$.

 

Osservazione:

Di raggi in un cerchio ne esistono infiniti ma sono tutti della stessa lunghezza.

 

Come calcolare la lunghezza della circonferenza

 

 

 

Per calcolare la lunghezza di una circonferenza, basta conoscere la misura di un qualunque raggio, ovvero, di un qualunque segmento che unisce il centro del cerchio con un punto della circonferenza.

La formula $pi$ per calcolare la lunghezza della circonferenza (o cio che è lo stesso il perimetro del cerchio) è: $$C=2timespitimes r$$ Dove $pi$ (leggi pi-greco) è un numero fisso pari a $3.14$.

Nota la lunghezza della circonferenza C, la formula per calcolare il raggio r è la seguente: $$r=frac{C}{2timespi}$$

Esempio 1:

Un cerchio ha il raggio $r = 5cm$; calcolare la lunghezza della circonferenza.

Ricordando la formula per il calcolo della circonferenza e sostituendo in essa il valore del raggio r, ottengo: $$C=2times pi times r=2times pi times 5=2times 3.14times 5=31.4cm$$

Esempio 2:

Un cerchio ha una circonferenza di lunghezza $25cm$; calcolare il raggio.

Ricordando la formula per il calcolo del raggio e sostituendo in essa il valore della circonferenza C, ottengo: $$r=frac{C}{2timespi}=frac{25}{2timespi}=3.98cm$$

 

Area del cerchio

 

 

 

Indichiamo l'area del cerchio (o superficie del cerchio) con la lettera $A$. Per calcolarla si usa la seguente formula: $$A=pitimes r^2$$

Osservazione:

L'unità di misura dell'area sarà $cm^2$, $m^2$, eccdots perché il raggio r (espresso in $cm$, $m$, ecc) compare al quadrato nella formula.

Viceversa, data l'area del cerchio, il raggio può essere calcolato con la seguente formula: $$r=sqrt{frac{A}{pi}}$$

Esempio 1:

Dato un cerchio di raggio $r = 2cm$, trovarne l'area.

Ricordando la formula per il calcolo dell'area e sostituendo in essa il valore del raggio r, ottengo: $$A=pitimes r^2=3.14times 2^2=3. 14times 4= 12.56cm^2$$

Esempio 2:

Dato un cerchio di area $A = 6cm^2$, trovarne il raggio.

Ricordando la formula per il calcolo del raggio nota l'area e sostituendo in essa il valore dell'area, ottengo: $$r=sqrt{frac{A}{pi}}=sqrt{frac{6}{pi}}=sqrt{1.91}=1.38cm$$

 

Altre formule utili per il cerchio e la circonferza

 

 

 

Supponiamo di conoscere la circonferenza di un cerchio $C = 3cm$ e di voler calcolarne l'area. Sappiamo che: $$A=pitimes r^2$$ ma non conosciamo il raggio. Conoscendo la circonferenza potremmo però, ricavarci il raggio utilizzando la seguente formula: $$r=frac{C}{2times pi}=frac{3}{2times 3.14}=0.48cm$$ Adesso, possiamo quindi trovarci l'area con la formula precedente: $$A=pitimes r^2=3.14times 0.48^2=3.14times 0.23=0.72cm^2$$

Osservazione:

L'ultima formula può essere riscritta nella seguente maniera: $$ A=pitimes r^2=pitimesbigg(frac{C}{2times pi}bigg)^2=pitimesfrac{C^2}{4times pi^2}=frac{C^2}{4times pi} $$ Quindi, un modo per ricavarsi l'area conoscendo la circonferenza è il seguente: $$A=frac{C^2}{4times pi}$$

Diamo, adesso, un altro esempio. Supponiamo di avere un cerchio di area $A = 7cm^2$ di cui vogliamo conoscere la circonferenza. Sappiamo che $$C=2times pi times r$$ ma, come prima, non conosciamo il raggio. Sfruttando, però, la misura nota dell'area del cerchio, grazie alla formula per il calcolo del raggio nota l'area, ottengo: $$r=sqrt{frac{A}{pi}}=sqrt{frac{7}{3.14}}=sqrt{2.23}=1.49cm$$ Sostituendo il raggio cosi trovato nella formula iniziale ci ricaviamo la circonferenza: $$C=2times pi times r=2times 3.14times 1.49=9.36$$

Osservazione:

L'ultima formula può essere riscritta nella seguente maniera: $$C=2times pi times r=2timespitimessqrt{frac{A}{pi}}=2timessqrt{frac{Atimes pi^2}{pi}}=2timessqrt{Atimes pi}$$ In sintesi, nota l'area del cerchio, possiamo calcolare la circonferenza con la seguente formula: $$C=2timessqrt{Atimes pi}$$