Un autobus di linea viaggia da Torino a Mantova, per metà tempo a 56km/h e per il tempo restante a 89 km/h. Al ritorno percorre metà della distanza a 56 km/h e il resto a 89 km/h. Trovare la sua velocità scalare media all’andata, al ritorno e per l’intero percorso. Trovare poi la velocità vettoriale media complessiva.

Soluzione:

il tempo di percorrenza è diviso in due parti uguali $$t_{totale}=t_{1}+t_{2}=2t_{1}$$ da ciò segue che $$t_{1}=frac{t_{totale}}{2}$$ Possiamo esprimere la distanza totale in funzione del tempo t1. begin{eqnarray*} s_{1}=56t_{1} & s_{2}=89t_{1} & s_{tot}=s_{1}+s_{2}=145t_{1} end{eqnarray*} la velocità media scalare è sempre $$v_{media}=frac{distanza, totale}{tempo}$$, per cui [ v_{media}=frac{145t_{1}}{2t_{1}}=72.5,frac{km}{h} ] Nel percorso di ritorno vi è uguaglianza nelle distanze percorse nei due tratti e non più nei loro tempi di percorrenza, cioè $$s_{1}=s_{2}$$ Si ha quindi begin{eqnarray*} t_{1}=frac{s_{1}}{56} & t_{2}=frac{s_{1}}{89} & t_{1}+t_{2}=frac{145s_{1}}{56cdot89} end{eqnarray*} si ha quindi [ v_{m}=frac{2s_{1}}{frac{145s_{1}}{56cdot89}}=69,frac{km}{h} ] La velocità media complessiva è data dal rapporto tra la distanza complessiva percorsa e il tempo totale impiegato a percorrerla. Quest'ultimo è esprimibile come begin{eqnarray*} t_{andata}=frac{s}{72.5} & t_{ritorno}=frac{s}{69} & t_{a-r}=t_{ritorno}=frac{69s+72.5s}{72.5cdot69}=t_{ritorno}=frac{141s}{72.5cdot69} end{eqnarray*} da cui : [ v_{m}^{totale}=frac{2s}{frac{141s}{72.5cdot69}}=71,frac{km}{h} ] Infine, il punto il partenza coincide con quello di arrivo, pertanto, lo spostamento totale è nullo e nulla sarà pure la velocità vettoriale totale media.