A cura di: Stefano Sannella
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Si consideri una perlina di massa $m$ libera di muoversi su un filo rigido sottile circolare di raggio $r$.
La perlina riceve una velocità iniziale $V_0$ e il coefficiente di attrito dinamico tra il filo e la perlina è $μ$.
L’esperienza viene eseguita in un veicolo spaziale alla deriva nello spazio (c’è dunque assenza di gravità).
Dimostrare che la velocità della pallina in funzione del tempo è
$v(t)=(v_0r)/(r+muv_0t)$
Calcoliamo la forza d’attrito.
La forza centripeta è:
$F_c=mv^2/r$
La forza di attrito è perciò:
$F_a=mu*F_c=mu*m*v^2/r$
L’accelerazione della pallina è dunque, semplificando la massa:
$a=-mu*v^2/r$ ovvero $(dv)/dt=-mu*v^2/r$
Questa equazione differenziale si può risolvere seeparando le variabili
Si ottiene:
$(dv)/v^2=-mudt/r$
Integrando entrambi i membri si ha:
$int_(v_0)^v(dv)/v^2=-mu/rint_0^tdt$
Sono due integrali facili, abbiamo subito
$-1/v+1/v_0=mu/r*t$
Esplicitando rispetto a $v$, otteniamo facilmente la relazione del testo.
$v=(v_0r)/(r+muv_0t)$
FINE
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