Di seguito spiegheremo con esempi quali sono le operazioni tra numeri naturali di addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione e come si svolgono.
L'addizione
L'addizione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto contando di seguito al primo tante unità quante ne indica il secondo.
I numeri $3$ e $4$ dell'esempio precedente si dicono addendi dell'addizione, il numero $7$, risultato dell'operazione, si dice somma.
Consideriamo ora i seguenti esempi: $21+0$ e $0+21$.
E' importante ricordare che i un un'addizione, se uno dei due addendi è zero la somma è uguale all'altro addendo. Per questo motivo il numero zero è detto elemento neutro dell'addizione. Ad esempio: 7+0 = 7
L'addizione in colonna
Quando gli addendi sono molti, conviene disporli in colonna per svolgere l'operazione di addizione con facilità. Si dispongono le cifre degli addendi incolonnandole secondo il loro valore posizionale (unità -u , decine -da, centinaia -h, migliaia -k, ecc.); si sommano quindi le cifre dello stesso ordine partendo dalla colonna più a destra stando attenti, se il risultato parziale supera il $9$, a trasportare il "riporto" nella colonna dell'ordine successivo.
Esempio:
Eseguiamo l'addizione
$$3457+312+7+8608$$
Avremo dunque:
Calcolare le seguenti addizioni:
- $29+1+11+5$.
- $59+28+61+12$.
- $2741+359+259+41$.
La sottrazione
La sottrazione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, che addizionato al secondo dà per risultato il primo.
$$12-8=4quadquadmbox{perchè}quadquad 4+8=12$$
I numeri $12$ e $8$ dell'esempio precedente si dicono rispettivamente minuendo e sottraendo; il numero $4$, risultato dell'operazione, si dice differenza o resto. Per quanto detto è anche evidente che la sottrazione è l'operazione inversa dell'addizione.
Possiamo eseguire la sottrazione fra i numeri $12$ e $8$ anche utilizzando la semiretta dei numeri. Dobbiamo partire da zero e spostarci verso destra di $12$ unità (archi in verde). A questo punto dovremo spostarci verso sinistra (verso lo zero) di tante unità quante quelle del secondo numero cioè $8$ (archi in azzurro): in questo modo otteniamo il punto immagine del numero $4$.
Osserviamo che non è possibile svolgere l'operazione della sottrazione con qualsiasi coppia di numeri naturali. Ad esempio, non possiamo calcolare la differenza $5-7$ perchè nessun numero naturale, addizionato a $7$, dà come risultato $5$. Nel programma di seconda media scopriremo che è possibile svolgere l'operazione $5-7$ introducendo i numeri interi relativi:
La sottrazione in colonna
Come per l'addizione, è opportuno eseguire le sottrazioni di una certa complessità mediante il metodo dell'operazione in colonna.
Anche in questo caso bisogna incolonnare una sotto l'altra le unità dello stesso ordine e iniziare a sottrarre le cifre a partire da quelle più a destra. Nel seguenti esempi abbiamo indicato con un corpo più piccolo i numeri del riporto.
Esempio:
Eseguiamo in colonna la seguente sottrazione:
$$7459-789$$
Calcolare le seguenti sottrazioni:
- $816-318$.
- $2741-1799$.
- $745-150-322$.
La moltiplicazione
La moltiplicazione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri un terzo numero, ottenuto eseguendo l'addizione di tanti addendi uguali al primo per quanti ne indica il secondo.
I numeri $6$ e $4$ dell'esempio precedente si dicono rispettivamente moltiplicando e moltiplicatore oppure 1° e 2° fattore; il risultato dell'operazione, si dice prodotto o resto.
Consideriamo ora i prodotti: $22cdot 1=22$ e $1cdot 22=22$.
In una moltiplicazione se uno dei due fattori è il numero $1$ il prodotto è uguale all'altro fattore. Per questo il numero $1$ è l'elemento neutro della moltiplicazione.
Consideriamo il prodotto $0cdot 5$. Dobbiamo sommare tanti addendi uguali al primo quanti ne indica il secondo:
$$underbrace{0+0+0+0+0}_{mbox{5 volte}}=0quadquadmbox{quindi}quadquad 0cdot 5=0$$
In modo analogo possiamo anche dire che $5cdot 0=0$.
Se invece il prodotto di due fattori è uguale a zero se e solo se almeno uno dei fattori è uguale a zero. Il numero $0$ è detto "elemento assorbente" della moltiplicazione.
La moltiplicazione in colonna
Per eseguire una moltiplicazione in colonna basta tenere presente che ogni cifra del moltiplicatore deve essere moltiplicata per ogni cifra del moltiplicando; i risultati parziali vengono scritti in colonna e alla fine sommati.
Ad esempio, eseguiamo in colonna la seguente moltiplicazione:
$$363cdot 215$$
Calcolare le seguenti moltiplicazioni:
- $12cdot 86$.
- $14cdot 144$.
- $1764cdot 849$.
La divisione
La divisione è l'operazione che fa corrispondere a due numeri, di cui il secondo diverso da zero, un terzo numero, se esiste, che moltiplicato per il secondo dà come risultato il primo
$$15:3=5quadquadmbox{perchè}quadquad 5cdot 3=15$$
I numeri $15$ e $3$ dell'esempio precedente si dicono rispettivamente dividendo e divisore e il numero $5$, risultato dell'operazione, si dice quoto o quoziente. Per quanto detto è anche evidente che la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione.
Osserviamo che non sempre il risultato di una divisione è esatto. Consideriamo infatti la divisione $15:6$. Si ha:
$$15:6=2quadquadmbox{con resto}quad 3.$$
In divisioni di questo tipo il quoto si dice approssimato perchè il prodotto di quest'ultimo con il divisore non dà come risultato il dividendo, ma un numero ad esso inferiore. Per ottenere come risultato il dividendo è necessario aggiungere, al precedente prodotto, il resto:
$$mbox{quoto}cdot mbox{divisore}+mbox{resto}=mbox{dividendo}$$
L'applicazione di questa formula consente la verifica del risultato ottenuto nell'esecuzione della divisione. Viene anche detta prova della divizione. Nel nostro caso:
$$6cdot 2+3=15$$
La divisione in colonna
Risolviamo la seguente divisione:
$$255:15$$
Calcolare le seguenti divisioni:
- $130:6$.
- $892:8$.
- $7450:25$.
Puoi proseguire lo studio delle operazioni tra numeri naturali con le potenze.