Cos’è un Poligono Regolare?
Si chiamano poligoni regolari quelle figure geometriche che hanno tutti i lati e gli angoli uguali.
I poligoni regolari si classificano in base al numero di lati:
- Triangolo equilatero (3 lati)
- Quadrato (4 lati)
- Pentagono regolare (5 lati)
- Esagono regolare (6 lati)
In realtà i poligoni regolari non finiscono qua: esistono infatti l’ettagono (con 7 lati), l’ottagono (con 8 lati), l’ennagono (con 9 lati), il decagono (con 10 lati) e così via.
Caratteristiche dei poligono regolari
Enunciamo, adesso, le caratteristiche comuni dei poligoni regolari indicando con $l$ il lato, con $n$ il numero dei lati del poligono e sapendo che per ogni poligono possiamo sempre considerare il cerchio inscritto e circoscritto
Chiamasi apotema di un poligono regolare, il raggio del cerchio inscritto nel poligono regolare. Ad esempio osserva la figura qui di seguito dove viene rappresentato l’apotema di un triangolo equilatero:
Ad ogni poligono regolare è associato anche un altro numero detto numero fisso f che è il rapporto tra l’apotema e il lato:
$$f=frac{a}{l}$$
La seguente tabella associa ad ogni poligono regolare il corrispondente numero di lati e il numero fisso:
| Poligono regolare | N° di lati | Numero fisso $f$ |
|---|---|---|
| Triangolo equilatero | $3$ | $0,289$ |
| Quadrato | $4$ | $0,5$ |
| Pentagono | $5$ | $0,688$ |
| Esagono | $6$ | $0,866$ |
Formule dei poligoni regolari
Riassumiamo di seguito alcune formule dei poligoni regolari necessarie per lo svolgimento dei problemi:
- Perimetro: $ncdot l$
- Lato con perimetro dato: $l=frac{P}{n}$
- Numero fisso: $f=frac{a}{l}$
- Apotema: $a=fcdot l$
- Lato con apotema e numero fisso dati: $l=frac{a}{f}$
- Area con perimetro e apotema noti: $A=frac{Pcdot a}{2}$
- Perimetro con area e apotema noti: $P=frac{2A}{a}$
- Apotema con perimetro e area noti: $a=frac{2A}{P}$
In particolare, vediamo pure le formule del triangolo equilatero:
- Area: $A=frac{sqrt{3}}{4}l^2$
- Lato con area nota: $l=sqrt{frac{4}{sqrt{3}}A}$
- Perimetro : $P=3l$
- Lato con perimetro noto : $l=frac{P}{3}$
- Altezza con lato noto: $h=frac{sqrt{3}}{2}l$
- Lato con altezza nota: $l=frac{2}{sqrt{3}}h$
Esercizi svolti sui poligoni regolari
Vediamo di risolvere qualche problema relativo ai poligoni regolari.
Esercizio sul triangolo equilatero
Calcolare area, perimetro e altezza di un triangolo equilatero di lato pari a $7 cm$.
Dati del problema:
- – $l=7cm$
- – $A=?quad P=?quad h=?$
Calcoliamo area, perimetro e altezza utilizzando le formule del triangolo equilatero:
$A=frac{sqrt{3}}{4}l^2=frac{sqrt{3}}{4}7^2=frac{sqrt{3}}{4}49=21,22cm^2$
$P=3l=3*7=21cm$
$h=frac{sqrt{3}}{2}l=frac{sqrt{3}}{2}7=6,06cm$
Esercizio su un pentagono regolare
Un pentagono regolare ha il perimetro di $22,34 cm$. Calcolare la sua area.
Dati del problema:
- – $P=22,34cm$
- – $A=?$
Troviamo per prima cosa il lato del pentagono:
$l=frac{P}{5}=frac{22,34}{5}=4,468cm$
Sapendo che il numero fisso di un pentagono è $f=0,688$ calcoliamo l’apotema:
$a=f*l=0.688*4,468=3,074cm$
Infine calcoliamo l’area:
$A=frac{P*a}{2}=frac{22,34*3,074}{2}=34,34cm^2$
Esercizio su un esagono regolare
In un esagono regolare l’apotema misura $22,21 cm. Calcolare la sua area.
Dati del problema:
- – $a=22,21cm$
- – $A=?$
Sapendo che il numero fisso di un esagono è $f=0,866$ calcoliamo il suo lato:
$l=frac{a}{f}=frac{22,21}{0,866}=25,65cm$
Avendo il lato, possiamo facilmente ricavare il perimetro:
$P=l*6=25,65*5=153,9cm$
Adesso, possiamo calcolare l’area:
$A=frac{P*a}{2}=frac{153,9*22,21}{2}=1709,0595cm^2$
Esercizi da svolgere sui poligoni regolari
Risolvere i seguenti problemi:
1) Calcolare il perimetro di un triangolo equilatero sapendo che l’altezza misura $9cm$.
2) Calcolare l’area di un pentagono regolare avente l’apotema lungo $21 m$.
3) Calcolare l’area di un esagono regolare avente il perimetro di $55 m$.