L'estrazione della radice quadrata

Estrarre una radice quadrata significa trovare la base dati il valore della potenza e l'esponente. In sostanza, si tratta dell'operazione inversa rispetto all'elevamento a potenza

L'elevamento a potenza può essere alla seconda, alla terza, ecc, cosi come l'estrazione della radice può essere quadrata, cubica, ecc.

Ad esempio, $sqrt{25}=5$ perchè $5^2=25$

 

Dunque, possiamo dire che la radice quadrata di un numero detto radicando è data da un altro numero che elevato al quadrato mi dà il radicando. 

I numeri per i quali esiste la radice quadrata si dicono quadrati perfetti e la loro radice quadrata di dice esatta

Esempio

  • $sqrt{16}=4quad sqrt{64}=8$
  • $sqrt{0,04}=0,2quad sqrt{3,24}=1,8$
  • $sqrt{frac{9}{16}}=frac{3}{4}quad sqrt{frac{81}{49}}=frac{9}{7}$

Non sempre, però, la radice quadrata di un numero è esatta, cioè non sempre esiste un numero razionale che elevato al quadrato mi dà il radicando.

$sqrt{23}=?quad sqrt{0,4}=?quad sqrt{frac{37}{13}}=?$

Per riconosce se la radice è esatta o meno, devo scomporre il radicando in fattori primi e vedere con quale esponente compaiono. Se il radicando si scompone in fattori primi con esponente pari, la radice è esatta altrimenti, se il radicando ha almeno un fattore con esponente dispari, la radice non sarà esatta

Radici esatte: esempio

Alcuni esempi di radici esatte:

  • 1) $sqrt{16}=sqrt{2^4}=4$
  • 2) $sqrt{25}=sqrt{5^2}=5$
  • 3) $sqrt{100}=sqrt{2^2cdot 5^2}=10$

Radici non esatte: esempio

Alcuni esempi di radici non esatte:

  • 1) $sqrt{15}=sqrt{3cdot 5}$
  • 2) $sqrt{24}=sqrt{2^3cdot 3}$
  • 3) $sqrt{12}=sqrt{2^2cdot 3}$

Per estrarre radici non esatte si effettua un'approssimazione per eccesso o per difetto.

Approssimazione per eccesso o per difetto delle radici

Approssimiamo per eccesso e per difetto $sqrt{15}$

Per approssimarla per eccesso, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più piccolo che, elevato al quadrato ci dà un numero maggiore di 15? Tale numero è $4$ perchè $4^2=16>15$.

Per approssimarla per difetto, possiamo porci la seguente domanda: qual è il numero più grande che, elevato al quadrato ci dà un numero minore di 15? Tale numero è $3$ perchè $3^2=9<15$.

Possiamo concludere dicendo che $4$ è l'approssimazione per eccesso di $sqrt{15}$, mentre $3$ è l'approssimazione per difetto di $sqrt{15}$.

 

Esercizi sulle radici quadrate

Estrarre le seguenti radici approssimando eventualmente sia per eccesso che per difetto.

Esempio 1

$sqrt{64}$

Estrazione: $sqrt{64}=sqrt{2^6}=2^3=8$
 

Esempio 2

$sqrt{56}$

Estrazione: $sqrt{56}=sqrt{2^3cdot 7}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $8$, per difetto diventa $7$.

Esempio 3

$sqrt{48}$

Estrazione:$sqrt{48}=sqrt{2^4cdot 3}$. Poichè non è esatta, approssiamiamola: per eccesso diventa $7$, per difetto diventa $6$.

 

Esercizi da svolgere

Estrarre le seguenti radici quadrate:

1) $sqrt{81}$

2) $sqrt{128}$

3) $sqrt{104}$

4) $sqrt{221}$

5) $sqrt{76}$