A cura di: Francesco Speciale
Scrivere l’equazione della circonferenza passante per i punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$.
Svolgimento
Indichiamo i tre punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$ con $A, B, C$
Innanzi tutto occorre verificare che i tre punti dati non sono allineati. La condizione di allineamento
di tre punti di coordinate $(x_1;y_1);(x_2;y_2);(x_3;y_3)$ è:
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$
Quindi occorrerà verificare che sia
$(y_3-y_1)/(y_2-y_1)!=(x_3-x_1)/(x_2-x_1)$, ovvero
$(3-3)/(-1+3)!=(1+3)/(1+3) => 0!=1$.
Essendo vera la relazione $0!=1$, resta verificato che i tre punti dati non sono allineati.
Consideriamo ora l’equazione di una circonferenza generica
$x^2+y^2+alphax+betay+gamma=0$;
se vogliamo che la curva passi per i punti $A,B,C$ dobbiamo imporre che le coordinate di
questi punti soddisfino la sudetta equazione; indicando con $delta$ la circonferenza cercata, avremo
$A(-3;3) in delta => (-3)^2+3^2+(alpha)*(-3)+(beta)*3+gamma=0 => 9+9-3alfa+3beta+gamma=0 => 3beta-3alfa+gamma+18=0$.
$B(1;-1) in delta => 1^2+(-1)^2+(alpha)*1+(beta)*(-1)+gamma=0 => (alpha)-(beta)+gamma+2=0$.
$C(1;3) in delta => 1^2+3^2+(alpha)*1+(beta)*3+gamma=0 => (alpha)+3(beta)+gamma+10=0$.
Ponendo a sistema le tre condizioni trovate e risolvendo avremo
${(3beta-3alfa+gamma+18=0),((alpha)-(beta)+gamma+2=0),((alpha)+3(beta)+gamma+10=0):}$;
${(-3beta+3alfa-18=gamma),((alpha)-(beta)-3beta+3alfa-18+2=0),((alpha)+3(beta)-3beta+3alfa-18+10=0):}$;
${(-3beta+3alfa-18=gamma),(4(alpha)-4(beta)-16=0),(4(alpha)=8):}$;
${(-3beta+3*2-18=gamma),(4*2-4(beta)-16=0),(alpha=2):}$;
${(-3beta-12=gamma),(4(beta)=-8),(alpha=2):}$;
${(gamma=-3*(-2)-12=-6),(beta=-2),(alpha=2):}$;
Perciò sostituendo i valori trovati nell’aquazione generica si ha:
$x^2+y^2+2x-2y-6=0$
Quest’ultima rappresenta l’equazione della circonferenza passante per i punti $(-3;3), (1;-1), (1;3)$.
- Geometria analitica