A cura di: Gianni Sammito

Studiare il carattere della seguente serie

 

$sum_{n = 0}^{+infty} sin(frac{n+2}{n^3 + 4})$


$lim_{n to +infty} sin(frac{n+2}{n^3 + 4}) = sin(0) = 0$
pertanto la condizione necessaria per la convergenza è verificata. Sfruttando il limite notevole del seno si nota che
$lim_{n to +infty} frac{sin(frac{n+2}{n^3 + 4})}{frac{n+2}{n^3 + 4}} = 1$
dunque $sin(frac{n+2}{n^3 + 4}) ~ frac{n+2}{n^3 + 4}$. D’altra parte
$lim_{n to +infty} frac{frac{n+2}{n^3 + 4}}{frac{1}{n^2}} = lim_{n to +infty} frac{n+2}{n^3 + 4} cdot n^2 = 1$
pertanto $frac{n+2}{n^3 + 4} ~ frac{1}{n^2}$. Quindi la serie proposta converge se e solo se risulta convergente
$sum_{n = 0}^{+infty} frac{1}{n^2}$
Ma questa è una serie armonica con esponente maggiore di $1$, ed è quindi convergente, di conseguenza la serie iniziale converge per il criterio del cofnronto asintotico.
FINE