A cura di: Gianni Sammito
Studiare il carattere della seguente serie
$sum_{n = 1}^{+infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$
La condizione necessaria per la convergenza è soddisfatta, infatti
$lim_{n to +infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2} = lim_{n to +infty} frac{sin(n)}{n^2} + frac{(-1)^n}{n} = 0 + 0 = 0$
Si considerino separatamente le seguenti due serie
$sum_{n=1}^{+infty} frac{sin(n)}{n^2}$ (1)
$sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{n}{n^2} = sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{n}$ (2)
Si nota che (1) è una serie a termini di segno variabile. Per studiare la convergenza assoluta di tale serie occorre considerare
$sum_{n=1}^{+infty} |frac{sin(n)}{n^2}| = sum_{n=1}^{+infty} frac{|sin(n)|}{n^2}$ (3)
Dato che $|sin(n)| < 1$ $forall n in mathbb{N}$, allora (3) è maggiorata da
$sum_{n=1}^{+infty} frac{1}{n^2}$
che è una serie armonica con esponente maggiore di $1$, e quindi convergente. Di conseguenza (3) converge per il criterio del confronto, pertanto (1) converge assolutamente, quindi anche semplcimente. Si consideri ora
$sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{n}$
Questa è una serie a termini di segno alterni che converge per il criterio di Leibniz, visto che
$lim_{n to +infty} frac{1}{n} = 0$
$frac{1}{n} > frac{1}{n+1}$ $forall n in mathbb{N} setminus {0}$
Dato che (1) e (2) converge, allora converge anche
$sum_{n=1}^{+infty} frac{sin(n)}{n^2} + sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{n}$
e risulta
$sum_{n=1}^{+infty} frac{sin(n)}{n^2} + sum_{n=1}^{+infty} (-1)^n frac{1}{n} = sum_{n = 1}^{+infty} frac{sin(n) + (-1)^n n}{n^2}$
pertanto anche la serie iniziale converge.
FINE
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