A cura di: Stefano Sannella
Si dimostri che vale la seguente identità
$tan(pi/4+alpha)=(1+sen2alpha)/(cos2alpha)$
Per mostrare la veridicità, operiamo per prima cosa sul primo membro
Per la formula della tangente di angoli sommati, e ricordando che
$tan(pi/4)=1$, avremo
$tan(pi/4+alpha)=(1+tan alpha)/(1-tan alpha)=$
$=frac{1+(sinalpha)/cosalpha}{1-(sinalpha)/(cosalpha)}=$
$=frac{(cosalpha+sinalpha)/(cosalpha)}{(cosalpha-sinalpha)/(cosalpha)}$
e semplificando
$(cos alpha+sin alpha)/(cos alpha-sin alpha)$
Trattiamo ora il secondo membro
$(1+sen2alpha)/(cos2alpha)$
Per la prima relazione fondamentale e ricordando che $sin2alpha=2sinalphacosalpha$ si ha
$(sin ^2 alpha +cos^2 alpha + 2 sin alpha cos alpha)/(cos^2 alpha-sin^2 alpha)=(sin alpha+cosalpha)^2/((cosalpha+sinalpha)(cos alpha-sin alpha))=(sin alpha+cosalpha)/(cosalpha-sinalpha)$
dopo aver ricordato la scomposizione che deriva dal prodotto notevole e la semplificazione.
Abbiamo mostrato che entrambi i membri sono equivalenti a una stessa forma.
FINE
- Trigonometria