A cura di: Gianni Sammito
Sia $X$ una variabile aleatoria avente densità di probabilità
$f_{X}(xi) = {(frac{1}{2}(xi – 1), "se " xi in [1,3]),(0, "altrimenti"):}$
a) Calcolare il valor medio $E[X]$ e la varianza $"Var"(X)$ di $X$.
Si consideri, ora, una seconda varaibile aleatoria uniformemente distribuita nell'intervallo $[0,2]$, e sia $Z = X + Y$. Nell'ipotesi che $X$ e $Y$ siano indipendenti:
b) Calcolare il valor medio $E[Z]$ e la varianza $"Var"(Z)$ di $Z$.
Il valor medio di $X$ risulta pari a
$E[X] = int_{-infty}^{+infty} xi f_{X}(xi) d xi = int_{1}^{3} (frac{1}{2} xi^2 – frac{1}{2} xi) d xi = frac{1}{6} [xi^3]_{1}^{3} – frac{1}{4} [xi^2]_{1}^{3} = frac{26}{6} – frac{8}{4} = frac{13}{3} – 2 = frac{7}{3}$
Il valor quadratico medio invece è
$E[X^2] = int_{-infty}^{+infty} xi^2 f_{X}(xi) d xi = int_{1}^{3} (frac{1}{2} xi^3 – frac{1}{2}xi^2) d xi = frac{1}{8} [xi^4]_{1}^{3} – frac{1}{6} [xi^3]_{1}^{3} = frac{80}{8} – frac{26}{6} = 10 – frac{13}{3} = frac{17}{3}$
La varianza di $X$ quindi vale
$"Var"(X) = E[X^2] – E[X]^2 = frac{17}{3} – frac{49}{9} = frac{51}{9} – frac{49}{9} = frac{2}{9}$
La densità di probabilità di $Y$ vale
$f_{Y}(eta) = {(frac{1}{2}, "se " eta in [0,2]),(0, "altrimenti"):}$
Il valor medio di $Y$ è
$E[Y] = int_{-infty}^{+infty} eta f_{Y}(eta) d eta = int_{0}^{2} frac{eta}{2} d eta = frac{1}{4} [eta^2]_{0}^{2} = 1$
Invece il valor quadratico medio è pari a
$E[Y^2] = int_{-infty}^{+infty} eta^2 f_{Y}(eta) d eta = int_{0}^{2} frac{eta^2}{2} d eta = frac{1}{6} [eta^3]_{0}^{2} = frac{8}{6} = frac{4}{3}$
Sfruttando la linearità del valore atteso, si ottiene
$E[Z] = E[X + Y] = E[X] + E[Y] = frac{7}{3} + 1 = frac{10}{3}$
$"Var"(Z) = E[Z^2] – E[Z]^2 = E[Z^2] – frac{100}{9}$
Dato che $X$ e $Y$ sono variabili aleatorie indipendenti allora sono anche scorrelate, ovvero $E[XY] = E[X] E[Y]$, quindi
$E[Z^2] = E[X^2 + 2 X Y + Y^2] = E[X^2] + 2 E [XY] + E[Y^2] = E[X^2] + 2 E [X]E[Y] + E[Y^2] = frac{17}{3} + 2 cdot frac{7}{3} cdot 1 + frac{4}{3} = frac{17}{3} + frac{14}{3} + frac{4}{3} = frac{35}{3}$
Quindi la varianza di $Z$ vale
$"Var"(Z) = E[Z^2] – E[Z]^2 = frac{35}{3} – frac{100}{9} = frac{105}{9} – frac{100}{9} = frac{5}{9}$
FINE
- Probabilità e Statistica