A cura di: Gianni Sammito
Calcolare l’area dell’ellisse avente equazione cartesiana
$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$
L’area richiesta equivale a
$int int_{A} dxdy$
dove
$A = {(x,y) in mathbb{R}^2: frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} le 1}$
Conviene passare in coordinate polari, ponendo
${(x = a rho cos(theta)),(y = b rho sin(theta)):}$
con $rho in [0, +infty)$ e $theta in [0, 2 pi]$. La matrice Jacobiana associata alla trasformazione è
$J(rho, theta) = [(frac{partial}{partial rho} x, frac{partial}{partial theta} x),(frac{partial}{partial rho} y, frac{partial}{partial theta} y)] = [(a cos(theta), -a rho sin(theta)),(b sin(theta), b rho cos(theta))]$
Il determinante della matrice Jacobiana vale
$det(J(rho, theta)) = ab rho cos^2(theta) + ab rho sin^2(theta) = ab rho$
pertanto
$dxdy = |ab rho| d rho d theta = ab rho d rho d theta$
Imponendo la condizione $frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} le 1$ si ottiene
$rho^2 cos^2(theta) + rho^2 sin^2(theta) le 1 implies rho in [0, 1]$
Pertanto l’area dell’ellisse vale
$int_{0}^{2 pi} int_{0}^{1} ab rho d rho d theta = frac{ab}{2} int_{0}^{2 pi} [rho^2]_{0}^{1} d theta = frac{ab}{2} int_{0}^{2 pi} d theta = frac{ab}{2} cdot 2 pi = ab pi$
FINE
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