$\int \int \int_{A} 2z dxdydz$

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$int int int_{A} 2z dxdydz$

 

con $A = {(x,y,z) in mathbb{R}^3: x^2 + y^2 le 4, -sqrt{1 + x^2 + y^2} le z le sqrt{x^2 + y^2}}$

 

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Dato che $sqrt{x^2 + y^2} ge -sqrt{1 + x^2 + y^2}$ $forall (x,y) in mathbb{R}^2$, allora l’integrale proposto equivale a

 

 

$int int_{B} (int_{-sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{sqrt{x^2 + y^2}} 2z dz)dxdy$ (1)

 

con $B = {(x,y) in mathbb{R}^2: x^2 + y^2 le 4}$.

 

$int_{-sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{sqrt{x^2 + y^2}} 2z dz = [z^2]_{-sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{sqrt{x^2 + y^2}} = x^2 + y^2 – (1 + x^2 + y^2) = -1$

 

Pertanto (1) equivale a

 

$int int_{B} (-1)  dxdy = – int int_{B} dxdy = – 4 pi$

 

considerando che $B$ è un cerchio di raggio $2$ e che $int int_{B} dxdy$ rappresenta l’area di $B$.

 

FINE