A cura di: Gianni Sammito
Calcolare
$int int int_{A} 2z dxdydz$
con $A = {(x,y,z) in mathbb{R}^3: x^2 + y^2 le 4, -sqrt{1 + x^2 + y^2} le z le sqrt{x^2 + y^2}}$
Dato che $sqrt{x^2 + y^2} ge -sqrt{1 + x^2 + y^2}$ $forall (x,y) in mathbb{R}^2$, allora l’integrale proposto equivale a
$int int_{B} (int_{-sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{sqrt{x^2 + y^2}} 2z dz)dxdy$ (1)
con $B = {(x,y) in mathbb{R}^2: x^2 + y^2 le 4}$.
$int_{-sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{sqrt{x^2 + y^2}} 2z dz = [z^2]_{-sqrt{1 + x^2 + y^2}}^{sqrt{x^2 + y^2}} = x^2 + y^2 – (1 + x^2 + y^2) = -1$
Pertanto (1) equivale a
$int int_{B} (-1) dxdy = – int int_{B} dxdy = – 4 pi$
considerando che $B$ è un cerchio di raggio $2$ e che $int int_{B} dxdy$ rappresenta l’area di $B$.
FINE
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