$\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx$

A cura di: Gianni Sammito

Studiare la convergenza del seguente integrale

 

 $int_{-infty}^{+infty} e^{-x^2} dx$ (1)

 

Dato che $lim_{x to pm infty} e^{-x^2} = 0$ la condizione necessaria per la convergenza è verificata. La funzione integranda, definita e continua su tutto $mathbb{R}$ è pari, pertanto (1) può essere riscritto come

 

$2 int_{0}^{+infty} e^{-x^2} dx = 2 (int_{0}^{1} e^{-x^2} dx + int_{1}^{+infty} e^{-x^2} dx)$

 

Nell’intervallo $[0,1]$ la funzione integranda è continua e limitata, pertanto

 

$int_{0}^{1} e^{-x^2} dx$

 

è un numero, di conseguenza (1) è convergente se e solo se converge

 

$int_{1}^{+infty} e^{-x^2} dx$ (2)

 

Per $x ge 1$ risulta $x^2 ge x$, ovvero

 

$-x ge -x^2$ (3)

 

Dato che l’esponenziale con base $e$ è una funzione monotona crescente, dalla (3) si deduce che, sempre per $x ge 1$

 

$e^{-x} ge e^{-x^2}$

 

quindi

 

$int_{1}^{+infty} e^{-x} dx ge int_{1}^{+infty} e^{-x^2} dx$ (4)

 

$int_{1}^{+infty} e^{-x} dx = lim_{t to +infty} (-e^{-x}) |_{1}^{t} = lim_{t to +infty} (-e^{-t} + e^{-1}) = frac{1}{e}$ (5)

 

Confrontando la (5) con la (4) si deduce che anche (2) converge, pertanto, per quanto detto in precedenza, l’integrale (1) è convergente.