A cura di: Stefano Sannella
Si calcoli il seguente limite
$lim_(x->+infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$
Per questo genere di limiti, è d’abitudine procedere con la razionalizzazione.
Si ha
$lim_(x->+infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$
Moltiplicando e dividendo per $sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)$ otteniamo:
$lim_(x->+infty)(sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2))*frac{sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)}{sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2)}$
$lim_(x->+infty)(x^2+x+1-(3+x^2))/(sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2))$
Togliendo le parentesi al numeratore e sommando si ottiene
$lim_(x->+infty)(x-2)/(sqrt(x^2+x+1)+sqrt(3+x^2))$
Ora evidenziamo dentro le radici un termine $x^2$ e poi portiamo fuori, ottenendo
$lim_(x->+infty)(x-2)/(|x|(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2))$
(abbiamo messo $sqrt(x^2)=|x|$ in evidenza in ambo le radici e poi lo abbiamo raccolto)
Ora $|x|=x$ per $x->+infty$ per cui
$lim_(x->+infty)(x-2)/(x(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2)))=lim_(x->+infty)(x-2)/(2x)=1/2$
Infatti dentro la parentesi al denominatore i termini con la $x$ scompaiono perchè essa tende a infinito, rimane dunque solo
$sqrt1+sqrt1$ ovvero $2$
Se invece il limite fosse stato per $x->-infty$, allora $|x|=-x$ per cui con gli stessi calcoli avremmo trovato che
$lim_(x->-infty)sqrt(x^2+x+1)-sqrt(3+x^2)$=$lim_(x->-infty)(x-2)/((-x)(sqrt(1/x^2+1/x+1)+sqrt(1+3/x^2)))$=
$lim_(x->-infty)(x-2)/(-2x)=-1/2$
FINE
- Esercizi sui Limiti