$\lim_{x \to +\infty}\sqrt{2 + x^3} - \sqrt{1 + 2x^2 + x^3}$

A cura di: Gianni Sammito

Calcolare

 

$lim_{x to +infty}sqrt{2 + x^3} – sqrt{1 + 2x^2 + x^3}$

 

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Il limite si presenta sotto la forma $infty – infty$; moltiplicando a numeratore e denominatore per $sqrt{2 + x^3} + sqrt{1 + 2x^2 + x^3}$ si ottiene

 

$lim_{x to +infty} frac{2 + x^3 – 1 – 2x^2 – x^3}{sqrt{2 + x^3} + sqrt{1 + 2x^2 + x^3}} = lim_{x to +infty} frac{1 – 2x^2}{x^{frac{3}{2}} (sqrt{frac{2}{x^{frac{3}{2}}} + 1} + sqrt{frac{1}{x^{frac{3}{2}} + frac{2}{x} + 1}))$

 

Dividendo per $x^{frac{3}{2}}$ sia al numeratore che al denominatore si ottiene

 

$lim_{x to +infty} frac{frac{1}{x^{frac{3}{2}}} – 2x^{frac{1}{2}}}{sqrt{frac{2}{x^{frac{3}{2}}} + 1} + sqrt{frac{1}{x^{frac{3}{2}}} + frac{2}{x} + 1}} = frac{0 – infty}{1 + 1} = -infty$

 

FINE